Minimalpolynom von $f=id$ bestimmen

Aufrufe: 111     Aktiv: 10.12.2022 um 13:20

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Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe hier:
Sei $f: V \rightarrow V, f=id$ ein Endomorphismus. Wie lautet dann das Minimalpolynom?

Wir haben das Minimalpolynom definiert als das eindeutig bestimmte, normierte Polynom $P_g \in Ker(\phi_g)$ mit $f=k \cdot P_g \quad \forall f \in Ker(\phi_g)$ und $k \in K[t]$.

Meine Idee:
Die Identität hat eine einzige Nullstelle, nämlich bei 0. Es gilt: $id(0)=0 \Rightarrow 0 \in Ker(id)$. Deshalb hätte ich gesagt, dass mein Minimalpolynom dem Nullpolynom gleicht.
Allerdings kann ich diesen Sachverhalt auch durch das Polynom $x+0$ beschreiben. Denn $id(x)=0 \iff x=0$.

Jetzt ergibt es auch meiner Sicht keinen Sinn, dass ich oben theoretisch 2 Lösungen habe, obwohl das Minimalpolynom nach Definition eindeutig bestimmt ist. Kann mir da jemand weiterhelfen, meinen Denkfehler zu finden?

Viele Videos auf YouTube beziehen sich beim Berechnen des Minimalpolynoms auf Matrizen. Kann ich $f=id$ auch analog als Einheitsmatrix $E_n$ schreiben?

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Hallo das Nullpolynom ist nie das Minimalpolynom. Nach Wahl von einer Basis es ist lineare Abbildung von endlich erzeugten VR eine Matrix, also kannst du mit \(E_n\) arbeiten. Tipp: schaue \(T-1\) an
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Student, Punkte: 10.33K

 

Danke erstmal für deine Antwort. Du sagst, dass Nullpolynom ist nie das Minimalpolynom, hällt diese Aussage auch für $V=0$, bzw. für $V$ beliebig und $f=0$?

Den Beweis von oben würde ich wie folgt führen:
$\chi_f=\det(t \cdot E_n-E_n)=\det(\begin{pmatrix} t-1 & 0 &0 \\ 0 & ... &0\\ 0 & 0 & t-1 \end{pmatrix})=(t-1)^n$. Also ist das Minimalpolynom $P_f=t-1$
  ─   annapi 10.12.2022 um 09:49

Ist \(V=0\) es ist \(End(V)=0 \), wir sind also im Fall \(f=0\). In diesem Fall annuliert jedes nicht konstante Polynom \(f\), das Minimalpolynom ist also \(T\).

Es geht viel einfacher es ist \(p=T+1\) irreduzibel, da linear und \(p(id)=id-id=0\), also Beh.
Dein Beweis verwendet, dass Charakteristische Polynom und Minimalpolynom gleiche irreduzible Faktoren haben, wenn ihr das schon bewiesen habt gut, es ist aber nicht mehr so elementar
  ─   mathejean 10.12.2022 um 10:52

Letzeres haben wir in der VL bewiesen also alles gut. Habe ich dich richtig verstanden, dass es für das Minimalpolynom keinen Unterschied macht, ob ich ein beliebiges $f$ über $V=0$ betrachte, oder $f=0$ über ein beliebiges $V$? Wäre in beiden Fällen, also:
$\chi_f = \det(t \cdot E_n-0)=t^n$, mit Minimalpolynom $P_f=t$?
  ─   annapi 10.12.2022 um 13:00

Ja, wenn V=0 wir haben nur die Nullabbildung in End(V)   ─   mathejean 10.12.2022 um 13:19

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