(Twitter)
Hallo,
jetzt kommt viel gerechne. Ich setze in die Formel \(\frac{x(2n-1)(2n+1)}{3}\) für \(n\) einfach mal \(n+1\) ein. Achte darauf, wie ich versuche die ursprüngliche Formel zu erhalten (ich rechne nicht immer die Zahlen zusammen):
\(\frac{1}{3}\cdot (n+1)(2n-1\,+2)(2n+1\, +2) = \frac{1}{3}\left[n\, (2n-1\,+2)(2n+1\,+2) + (2n-1\,+2)(2n+1\,+2)\right]\)
\(= \frac{1}{3}\left[n(2n-1)(2n+1\,+2)+2n(2n+1\, +2)+(2n-1\,+2)(2n+1\,+2)\right]\)
\(= \frac{1}{3}\left[n(2n-1)(2n+1)+2n(2n-1)+2n(2n+1\, +2)+(2n-1\,+2)(2n+1\,+2)\right]\) pffff! ganz vorn: die Formel (die für \(n\) und wir müssen den Rest nur noch ausrechnen....:
\(\frac{1}{3}\left[n(2n-1)(2n+1)\right]+\frac{1}{3}\left[2n(2n-1)+2n(2n+3)+(2n+1)(2n+3)\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[n(2n-1)(2n+1)\right]+\frac{1}{3}\left[4n^2-2n+4n^2+6n+4n^2+8n+3\right]\) ... es wird langsam ...
\(=\frac{1}{3}\left[n(2n-1)(2n+1)\right]+\frac{1}{3}\left[12n^2+12n+3\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[n(2n-1)(2n+1)\right]+\left(4n^2+4n+1\right)\)
\(=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2n+1)^2\).
Phew! Wenn Du diese algebraischen manipulationen von unten nach oben durchführst, zeigt dies den Induktionsschluss.
Wenn noch Unklarheiten bestehen, einfach melden,
Viele Grüße,
MoNil
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.22K
Ich hab einfach das Drittel aus der Originalformel vorgezogen:
\(\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}= \frac{1}{3}\cdot n(2n-1)(2n+1)\).
Da ich ja \(n+1\) an Stelle von \(n\) eingesetzt habe, ist der Bruch immer da, aber es ist leichter das Drittel rauszuziehen.. (sowohl wenn mans handschriftlich rechnet als auch in mathjax)
Viele Grüße ─ monil 26.03.2020 um 16:20
Vielleicht können Sie mir da noch auf die Sprünge helfen ─ xxstudentxx 26.03.2020 um 16:17