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Als allererstes sollte man stets a_n selbst untersuchen. Wenn es keine Nullfolge ist, kann die Reihe nicht konvergieren. Wir benutzen im folgenden: \(\lim\limits_{k\to\infty}(1+\frac{x}k)^k =e^x\).
\(a_n=(\frac{n+2021}{n-2021})^n = (1+\frac{4042}{n-2021})^n = (1+\frac{4042}{n-2021})^{n-2021}\cdot (1+\frac{4042}{n-2021})^{2021} \longrightarrow e^{4042}\cdot 1^{2021} = e^{4042}\).
Also ist \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) nicht konvergent.
Sollte man trotzdem \(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}\) berechnen wollen, so ist:
\(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\lim a_{n+1}}{\lim a_n} = 1\).
\(a_n=(\frac{n+2021}{n-2021})^n = (1+\frac{4042}{n-2021})^n = (1+\frac{4042}{n-2021})^{n-2021}\cdot (1+\frac{4042}{n-2021})^{2021} \longrightarrow e^{4042}\cdot 1^{2021} = e^{4042}\).
Also ist \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) nicht konvergent.
Sollte man trotzdem \(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}\) berechnen wollen, so ist:
\(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\lim a_{n+1}}{\lim a_n} = 1\).
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mikn
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Ich danke herzlich für die schnelle Antwort, aber leider konnte ich das nicht ganz nachvollziehen.. Das Ergebnis soll ja am Ende im Zähler 4042 sein - woher kommt die zweite 2021?
─
dietergletz
13.07.2021 um 01:21
\(\frac {n+2021} {n-2021} = \frac {n+2021 +2021 - 2021} {n-2021} = \frac {n-2021 + 4042} {n-2021} = \frac {n-2021} {n-2021} + \frac {4042} {n-2021} = 1 + \frac {4042} {n-2021}\) ist dann vermutlich der Rechenschritt, den ich nicht nachvollziehen konnte.
Die Nulladdition war eine Lücke in meinem Grundwissen bei Bruchrechnung. Schade eigentlich, dafür ist die jetzt gefüllt. Vielen Dank euch beiden, das hat mir sehr geholfen! ─ dietergletz 13.07.2021 um 15:44
Die Nulladdition war eine Lücke in meinem Grundwissen bei Bruchrechnung. Schade eigentlich, dafür ist die jetzt gefüllt. Vielen Dank euch beiden, das hat mir sehr geholfen! ─ dietergletz 13.07.2021 um 15:44
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Es tut mir leid, aber ich brauche einen Gedankenanstoß bei dem ersten Rechenschritt -
\(a_{n} = (\frac {n+2021} {n-2021})^n = (1+\frac{4042} {n-2021})^n\).
Mein Ansatz war der folgende:
\(\frac {n+2021} {n-2021} = \frac {n} {n-2021} + \frac {2021} {n-2021}\) auf Grund der Bruchrechenregeln.
Wie komme ich nachvollziehbar auf \((1+\frac{4042} {n-2021})^n\) ? Bzw - auf welchem Weg wird 4042 und n-2021 bestimmt (also x und k)?
Vielen Dank vorab! ─ dietergletz 13.07.2021 um 00:58