Konvergenzreihen / Quotientenkriterium / ergibt e

Aufrufe: 107     Aktiv: 13.07.2021 um 16:02

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Ich kann leider trotz über 2 Stunden grübeln nicht ganz nachvollziehen, wie der Rechenweg für den folgenden Zwischenschritt aussieht:

Konvergenzprüfung der Reihe für n>1
\(a_{n} = (\frac {n+2021} {n-2021})^n\)

Mit Hilfe des Quotientenkriteriums \(\lim\limits_{x \to \infty} |\frac {a_{n+1}} {n}|\) ist mein erster Ansatz:


\(\lim\limits_{x \to \infty} |\frac{n+2022} {n+2022}|\) = \[\frac{\frac{(n+2021)^{n+1}}{(n+2021)^{n+1}}}{\frac{{(n+2021)}^{n}}{{(n-2021)}^{n}}}\]

Mit Hilfe von multipl. mit Kehrbruch erhalte ich dann ein scheinbar falsches Zwischenergebnis:

\(\frac {{(n+2022)}^{n+1}} {(n+2022)^{n+1} * {(n+2021)^{n}}*{(n-2021)^{-n}}}\).

Am Ende sollte wohl korrekterweise das stehen:

\(1 + {({\frac{4042}{n-2021}}^{\frac{n-2021}{4042}})}^{\frac{n*4042}{n-2021}} = e^{4042}\)

Über jeden Ansatz wäre ich dankbar :)
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Als allererstes sollte man stets a_n selbst untersuchen. Wenn es keine Nullfolge ist, kann die Reihe nicht konvergieren. Wir benutzen im folgenden: \(\lim\limits_{k\to\infty}(1+\frac{x}k)^k =e^x\).
\(a_n=(\frac{n+2021}{n-2021})^n = (1+\frac{4042}{n-2021})^n = (1+\frac{4042}{n-2021})^{n-2021}\cdot (1+\frac{4042}{n-2021})^{2021} \longrightarrow e^{4042}\cdot 1^{2021} = e^{4042}\).
Also ist \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) nicht konvergent.
Sollte man trotzdem \(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}\) berechnen wollen, so ist:
\(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\lim a_{n+1}}{\lim a_n} = 1\).
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Vielen Dank für die hilfreiche Antwort!

Es tut mir leid, aber ich brauche einen Gedankenanstoß bei dem ersten Rechenschritt -





\(a_{n} = (\frac {n+2021} {n-2021})^n = (1+\frac{4042} {n-2021})^n\).

Mein Ansatz war der folgende:

\(\frac {n+2021} {n-2021} = \frac {n} {n-2021} + \frac {2021} {n-2021}\) auf Grund der Bruchrechenregeln.

Wie komme ich nachvollziehbar auf \((1+\frac{4042} {n-2021})^n\) ? Bzw - auf welchem Weg wird 4042 und n-2021 bestimmt (also x und k)?

Vielen Dank vorab!
  ─   dietergletz 13.07.2021 um 00:58

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Mach einfach eine Nulladdition im Zähler: \(n+2021+2021-2021=n-2021+4042\)   ─   cauchy 13.07.2021 um 01:12

Ich danke herzlich für die schnelle Antwort, aber leider konnte ich das nicht ganz nachvollziehen.. Das Ergebnis soll ja am Ende im Zähler 4042 sein - woher kommt die zweite 2021?   ─   dietergletz 13.07.2021 um 01:21

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Die Idee ist ja umzuschreiben in der Form: \(\frac{n+2021}{n-2021}=1 + irgendwas\) um den Grenzwert mit der e-Funktion einzubringen. Dann ist eben \(irgendwas=1-\frac{n+2021}{n-2021}\), das auf den Hauptnenner gebracht, fertig.   ─   mikn 13.07.2021 um 11:02

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Wir haben bereits \(n+2021\) und dann addieren wir einfach \(2021\) und ziehen es wieder ab (Nulladdition). Ansonsten hilft natürlich auch der Ansatz von mikn.   ─   cauchy 13.07.2021 um 12:54

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\(\frac {n+2021} {n-2021} = \frac {n+2021 +2021 - 2021} {n-2021} = \frac {n-2021 + 4042} {n-2021} = \frac {n-2021} {n-2021} + \frac {4042} {n-2021} = 1 + \frac {4042} {n-2021}\) ist dann vermutlich der Rechenschritt, den ich nicht nachvollziehen konnte.

Die Nulladdition war eine Lücke in meinem Grundwissen bei Bruchrechnung. Schade eigentlich, dafür ist die jetzt gefüllt. Vielen Dank euch beiden, das hat mir sehr geholfen!
  ─   dietergletz 13.07.2021 um 15:44

Die Nulladdition kann man in vielen Situationen anwenden, man muss dazu aber wissen wo man hin will. Hier eben auf die Form 1+irgendwas. Dazu schreibt man \(1=\frac{n-2021}{n-2021}\) und dann ist es rechnerisch dasselbe wie in meinem Tipp oben (irgendwas = 1 minus... Hauptnenner...)   ─   mikn 13.07.2021 um 16:02

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