Subsitutionsregel

Aufrufe: 760     Aktiv: 20.12.2020 um 22:10

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hi, kann mir bitte jemand die Substiutionsregel anhand folgender Beispiele erklären?

1. sin(x)*e^ln(x)

2. 2x^2 *e^1/3*x^3

wäre super lieb

vielen dank

grüße

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das stimmt fällt mir auch gerade auf, danke :)   ─   dopamin001 20.12.2020 um 22:00
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(1) kannst du umstellen wie cauchy das schon erwähnt hat.

Bei (2) stört dich (wahrscheinlich beim Integrieren) der komplizierte Exponent. Substituiert man \(z=\dfrac{1}{3}x^3\) und setzt das ein, ergibt das:

\(\displaystyle{\int 2x^2 \cdot e^{z} \text{d}x}\)

Nun muss man aber noch die Substitution für das d\(x\) anwenden.

Leitet man das substituierte \(z\) nach deiner "alten" Variable \(x\) ab, erhält man \(z'=x^2\). Nun ist es üblich, dass man \(z'=\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}\) schreibt, wenn \(z\) nach \(x\) abgeleitet wurde. Das umstellen nach d\(x\) ergibt dann:

\(\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} =x^2 \quad \Leftrightarrow \quad \text{d}x =\dfrac{1}{x^2} \cdot \text{d}z\)

Setzt man dies jetzt auch noch ins Integral ein, heben sich alle Terme mit dem \(x\) weg. (Hinweis: passiert das nicht, hat man wahrscheinlich nicht den richtigen Ausdruck substituiert. Hast du Außerdem Integralgrenzen, müssen die stets mit substituiert werden.) Es ergibt sich nun:

\(\displaystyle{\int 2x^2 \cdot e^z \text{d}x =\int 2x^2 \cdot e^z \cdot \dfrac{1}{x^2} \text{d}z =2\cdot \int e^z dz =2e^z}\)

Nun rücksubstituiert man noch am Ende und erhält schlussendlich die gesuchte Stammfunktion \(2e^{\frac{1}{3}x^3}\)

 

Hoffe das hilft beim Verstehen der Substitution.

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