die Angabe k*pi mit k € Z, bzw. k*2pi  bezieht sich darauf, dass du in den periodischen Funktionen immer unendlich viele solche Werte findest und mit einer solchen Angabe  von einer Periode (der Grundfunktion sin (x), cos (x)) in die nächste bzw. vorhergehende Periode springst, d.h. ALLE Lösungen in einem Ausdruck angeben kannst. Dabei ist wichtig, dass du diese Angabe vor der "Resubstitution" machst (sonst stimmt die Periodenlänge nicht)

In deinem Beispiel  (nur zur Verdeutlichung, muss man nicht so umständlich aufschreiben)   sei  2x = u und somit hast du cos u= pi/6 + k* 2pi  (k€Z)  (für k=0 ergibt sich nun pi/6, für k=1 ergibt sich 13pi/6, k=-1   .....) und bei der Resubstitution entsprechend   x= pi/12 + kpi (k€Z)


wichtig ist, dass du das auch noch mit der zweiten Lösung machst , beim Kosinus wäre die   u=- pi/6   (Symmetrie zur y-Achse)   

Wegen der Periode der Kosinusfunktion. Diese ist eigentlich \(2\pi\). Also müsste für deine Gleichung gelten:

\(2x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\)

wenn du dann noch durch \(2\) teilst, erhältst du also \(x=\dfrac{\pi}{12}+k\cdot \pi\).

Du hast darüberhinaus noch eine weiter Lösung als nur \(\dfrac{\pi}{6}\)! Überlege mal für welche Werte der Kosinus von \(0\) bis \(2\pi\) noch positiv ist?

Hoffe das hilft weiter.