Lösen einer Exponentialgleichung

Erste Frage Aufrufe: 818     Aktiv: 04.04.2021 um 13:43

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Hey Leute,
ich versuche gerade eine Exponentialgleichung zu lösen und komme nicht weiter. Ich wäre total dankbar, wenn mir jemand helfen könnte...

Zur Aufgabe: Es geht um eine Funktion K(t)=25(e^(-0,2*t)-e^(-0,8*t)), die die Konzentration K eines Medikaments im Blut in Abhängigkeit von der Zeit nach der Einnahme beschreibt. (t:Stunden; K(t) in mg/l)
Die Frage ist: Das Medikament wirkt, wenn die Konzentration über 7 mg/l liegt. Berechnen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt.

Mein Rechenweg: Ich habe den Funktionsterm mit 7 gleichgesetzt, um sozusagen die beiden Punkte auf dem Graphen zu finden, bei denen K(t)=7 ist. Danach würde ich dann schauen, welcher Zeitraum dazwischen liegt.

Ich komme allerdings beim Lösen der Gleichung nicht weiter:

7 = 25(e^(-0,2*t) - e^(-0,8*t))
7/25 =e^(-0,2*t) - e^(-0,8*t)

und jetzt? Wenn ich den ln(...) anwende, steht ja in der Klammer eine Summe und ich komme nicht an t heran.
Meine Idee war durch 7/25 zu teilen, dann den einen "e-Ausdruck" auf die andere Seite zu bringen, den Natürlichen Logarithmus zu bilden und dann gemäß des Logarithmusgesetzes (ln(u/v)=ln(u)-ln(v)) aufzulösen. Dann kommt bei mir aber eine Ungleichung raus...

Quelle ist übrigens das Lambacher Schweizer, die geben als Lösung 5,6 Stunden an, aber natürlich keinen Rechenweg...

Danke schon einmal!

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1 Antwort
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Numerisch. Da du vermutlich keinen GTR hast, stellst  du die Gleichung nach =0 um, gibst sie in den WTR ein und suchst in der Wertetabelle nach einem VZW, das Intervall kannst du dann weiter verfeinern.
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Hey, danke dir auf jeden Fall!
Nein, einen GTR habe ich tatsächlich nicht, die Aufgabe ist auch, denke ich, nicht darauf ausgelegt.
Meine Frage an dich: Was genau meinst du mit dem VZW in der Wertetabelle, also wieso sollte da ein VZW sein?
Ich habe das jetzt einfach über die Gleichungslösefunktion (Newton-Verfahren) des Taschenrechners gemacht und habe auch das richtige Ergebnis raus.
Aber jetzt weiß ich auf jeden Fall ja schonmal, dass man die Gleichung nur mit dem TR lösen kann... Ich dachte, ich übersehe irgendwie eine Methode/Hilfsmittel wie Substitution oder so und komme deshalb nicht drauf :)
  ─   sabin1712 04.04.2021 um 13:14

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wenn du die Gleichung auf Null stellst (also eine Nullstelle suchst) hast du ja auf jeden Fall irgendwo einen Vorzeichenwechsel, bei solchen Lösungen eben meist nicht bei einem glatten x-Wert. D.h. du siehst, dass die VZ bei 3 negativ sind und bei 4 positiv (oder umgekehrt) und das musst du dann näher eingrenzen, indem du das Intervall halbierst z.B. [3;3,5] und [3,5;4] oder dich anders annäherst.. Dort wo die umgeformte Gleichung eine Nullstelle hat, hat die ursprüngliche ihre Schnittstellen   ─   monimust 04.04.2021 um 13:24

Okay, danke dir. Das Gleichungslöserverfahren kannte ich so noch nicht, gut zu wissen.   ─   sabin1712 04.04.2021 um 13:43

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