a) Zeige, dass in jeder der offenen Mengen \(]\frac{1-\varepsilon}{2^n},\frac{1+\varepsilon}{2^n}[\) genau ein \(x\in A_1\) liegt. Angenommen, es gäbe eine endliche Überdeckung. Dann hätte \(A_1\) nur endlich viele Elemente, Widerspruch.
b) Zeige: Alle bis auf endlich viele Elemente der Menge \(x_2\) liegen in \(]-\varepsilon,\varepsilon[\). Was kannst du daraus folgern? Alternativ: \(A_2\) ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Folglich existiert eine endliche Teilüberdeckung.
c) Offensichtlich existiert zu dieser Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung, wähle z.B. \(\delta=\frac12\), dann ist schon diese eine Menge eine Überdeckung. Trotzdem ist die Menge nicht kompakt, dazu kannst du zum Beispiel die Überdeckung \((]\delta,1-\delta[)_{\delta\in]0,1[}\) betrachten.