Das ist eigentlich eine recht einfache Aufgabe, die nur das verwenden der Definitionen benötigt. Zum Beispiel:
Sei \(U\) eine offene Menge bzgl. \(|\!|\cdot|\!|\) und sei \(x\in U\). N.V. existiert ein \(r>0\) sodass \(B^{||\cdot||}_r(x)\subseteq U\). Aufgrund der Äquivalenz der Normen gibt es ein \(C\in\mathbb R\) mit \(|\!|y|\!|\leq C|\!|\!|y|\!|\!|\), also \(B_{r/C}^{|||\cdot|||}(x)\subseteq B_r^{||\cdot||}(x)\) mit \(r/C>0\), sodass \(U\) auch bzgl. \(|\!|\!|\cdot|\!|\!|\) eine offene Umgebung von \(x\) enthält. Da \(x\) beliebig war, ist \(U\) offen bzgl. \(|\!|\!|\cdot|\!|\!|\).
Alle anderen Aussagen gehen so ähnlich.