Potenz mit Bruch als Exponent führt zu Widerspruch (-1 = 1)

Erste Frage Aufrufe: 370     Aktiv: 15.04.2023 um 16:34

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Welcher Schritt ist hier falsch (wenn man reelle Zahlen betrachtet)?

-1 = (-1)^1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1
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Hallo,

der Widerspruch entsteht, weil die Potenzgesetze nicht für alle Basen gleich definiert sind.
Beispielsweise gilt das Potenzgesetz
$$
a^{\frac mn} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}
$$
Für alle $m,n\in \mathbb N$, wenn $a>0$, aber nur für ungerade $m,n$, wenn $a<0$. 
Du könntest also $1 = \frac 33$ erweiteren, und es funktioniert wieder. 

Das ist super wichtig bei den Potenzgesetzen im Kopf zu behalten! Hast du eine positive Basis, musst du dir keine Gedanken machen. Hast du eine negative Basis, prüfe immer ob die Gesetze wirklich anwendbar sind. 

Grüße Christian
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Besten Dank für die sorgfältige Antwort!

  ─   cvoss 15.04.2023 um 14:20

Sehr gerne :)   ─   christian_strack 15.04.2023 um 15:59

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rechne jeden Term aus. Du hast das so geschrieben, dass man es z.B. nach Excel kopieren kann und der Wert angezeigt wird. Findest du den Fehler?
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Aber meine Frage ist eher, warum (anscheinend) richtige Termumformungen zu unterschiedlichen Termbewertungen führen.
Der Fehler ist das dritte Gleichheitszeichen. Für diesen Schritt ist kein Potenzgesetz definiert. Siehe Antwort von christian_strack.
  ─   cvoss 15.04.2023 um 15:04

christian_strack hat das sehr gut erklärt.   ─   mpstan 15.04.2023 um 16:34

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