Frage zu einem Beweis

Aufrufe: 160     Aktiv: 20.11.2023 um 04:19

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Guten Abend, 
ich habe eine Frage bezüglich eines Beweises:

Gegeben:
U ist ein Unterraum und W dessen orthogonale Komplemente.
Es gelte U ∩ W = {0} (Nullvektor).

Beweis: Sei U = {(λ1)V1 + ... + (λm)Vm|λ1,...,λm in R (Reele Zahlen)} = Lin(V1,...,Vm) mit Basis-Vektoren V1,...,Vm aus R^n &
W = {X in R^n : Skalarprodukt(X, V1) = ... =  Skalarprodukt(X, Vm) = 0 }

Nehme man an es gibt ein k in
R^n mit k = Vi (i = 1,...,m), so ist k in U ∩ W, d.h. k ist in U und in W. Somit würde aber folgen: Skalarprodukt(k,Vi) = Skalarprodukt(Vi,Vi) = 1 und das ist ein Widerspruch. Somit muss k ist nicht in W, wenn k in U ist.

D.h. W und V haben keine gemeinsamen Elemente ausser 0 (Nullvektor).

0 in U und 0 in W, denn es gilt immer Skalarprodukt(0, Vi) = 0, wodurch 0 in U ist und auch in W.
Insgesamt gilt also: U ∩ W = {0}. 

Das wäre mein Ansatz, wäre dieser korrekt?
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