Eine sehr bekannte Anwendung ist der Gaußsche Satz für elektrische Felder. Dieser besagt, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine (geschlossene) Oberfläche gleich dem Quotienten der Ladung, der dieses Feld erzeugt, und der Dielektrizitätskonstanten entspricht.

\( \oint\vec{E}\cdot\vec{A}=\frac{Q}{\epsilon}\)

Hier jedoch geht man meistens davon aus, dass man die Ladung bzw. Ladungsverteilung kennt und mit der Hilfe der linken Seite auf das elektrische Feld schließt.

Beispiel einer Aufgabe?

Bestimmen sie das radialsymmetrische elektrische Feld, welches durch die Punktladung \( Q \) im Ursprung erzeugt wird. Das Ergebnis sollte dir aus der Schule kennen.

Dann gäbe es noch das Beispiel des magnetischen Flusses durch eine Oberfläche:

\(\Phi=\int_A\vec{B}\cdot d\vec{A} \)

In der Schule kennt man eigentlich nur statische Magnetfelder und da reduziert sich die Beziehung einfach auf \( \Phi=BA \). Die zeitliche Ableitung des magnetischen Flusses beschreibt die dabei induzierte Spannung.

Ebenfalls in der Elektrodynamik gibt es den sogenannten Poynting Vektor

\( \vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right) \)

Dieser beschreibt die Dichte und die Richtung des Energieflusses eines elektromagnetischen Feldes. Die von diesem Vektor durchflossene Fläche entspricht der umgesetzten Leistung.

\( P=\oint\vec{S}\cdot d\vec{A} \)

Etwas einfacheres Bespiel ist einfach wie viel Strom durch eine Fläche über die Stromdichte fließt.

\(I=\int_A\vec{J}\cdot d\vec{A} \)

Im Falle einer homogenen Stromdichte und senkrechtem Stromfluss vereinfacht sich diese Beziehung zu \(I=JA\)

Das sollte zunächst wohl reichen. Über die Kontinuitätsgleichung (elektromagnetisch als auch quantenmechanisch) kann man auch noch rumspielen.