AX+bY=c diophantische Gleichung

Erste Frage Aufrufe: 95     Aktiv: 25.09.2023 um 22:55

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Ein Luftballonverkäufer verkauft luftballons, 98ct/stk die kleinen, 158ct/stk die großen. 
Am Ende hat er 170,28€ eingenommen von den je 100 Luftballons hat er einen großen Teil verkauft. 

So die Aufgabe und ich komme nicht dahinter... rechne ich falsch oder habe ich einen falschen Lösungsweg, mir fehlt das 'klick' im kopf.

ggT(98,158)=2, 2|17028, das stimmt schonmal. Nun muss ich mit dem erweiterten eukl.  Algorithmus ganze zahlen s,t finden, sodass
98s+158t=17028
=> 49s+79t=8514
Soweit So Gut.
S=18 und t=-29
Dann komme ich auf
18×158-29×98=2844-2842=2
Auch gut. 
Nur wie bekomme ich jetzt die Lösung, wie viele von welchen Ballons er verkauft hat. 
Multipliziert mit 8514? 
Oder stelle ich etwas um? 
Oder bin ich ganz auf dem Holzweg?

Ich danke euch fürs zuhören und die Hilfe!
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Danke für die Anregung, hab mich mal reingearbeitet.
Dein Vorgehen ist soweit gut, zwischendurch hast Du mal s und t vertauscht.
Du hast also $18\cdot 79-29\cdot 49 =1$ schon gefunden. Gut.
Wir haben also, wie Du schon vermutetest: $18\cdot 79\cdot 8514-29\cdot 49\cdot 8514 =8514$.
Wir wollen: $49\, s+79\, t=8514$ und haben also schon eine Lösung gefunden: $s=-29\cdot 8514$ und $t=18\cdot 8514$. Das Problem ist nur $s<0$. Es gibt jedoch noch mehr Lösungen, die allgemeine Form ist:
$s=-29\cdot 8514-79\,k$ und $t=18\cdot 8514+49\,k$ für beliebiges $k\in \mathbb{Z}$.
Wir müssen also $k$ finden, so dass damit $s\ge 0$ und $t\ge 0$ ist.
Ungleichungen aufstellen und nach $k$ umstellen gibt nur zwei Möglichkeiten, $k=-3126$ und $k=-3127$. Dies gibt wiederum:
$s=48, t=78$ und $s=127, t=29$.
Zwischenstand: Die Gleichungen hat genau zwei Lösungen mit positiven Zahlen.
Jetzt schauen wir nochmal in die Aufgabenstellung und sehen, dass $s\le 100, t\le 100$ gelten muss, was die zweite Lösung ausschließt.
Also, einziges Ergebnis: $s=48, t=78$.
Nachrechnen und Probe kann nicht schaden.
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Oh wow, vielen Dank für diese aufschlussreich Antwort!   ─   user061502 25.09.2023 um 22:46

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