Danke für die Anregung, hab mich mal reingearbeitet.
Dein Vorgehen ist soweit gut, zwischendurch hast Du mal s und t vertauscht.
Du hast also $18\cdot 79-29\cdot 49 =1$ schon gefunden. Gut.
Wir haben also, wie Du schon vermutetest: $18\cdot 79\cdot 8514-29\cdot 49\cdot 8514 =8514$.
Wir wollen: $49\, s+79\, t=8514$ und haben also schon eine Lösung gefunden: $s=-29\cdot 8514$ und $t=18\cdot 8514$. Das Problem ist nur $s<0$. Es gibt jedoch noch mehr Lösungen, die allgemeine Form ist:
$s=-29\cdot 8514-79\,k$ und $t=18\cdot 8514+49\,k$ für beliebiges $k\in \mathbb{Z}$.
Wir müssen also $k$ finden, so dass damit $s\ge 0$ und $t\ge 0$ ist.
Ungleichungen aufstellen und nach $k$ umstellen gibt nur zwei Möglichkeiten, $k=-3126$ und $k=-3127$. Dies gibt wiederum:
$s=48, t=78$ und $s=127, t=29$.
Zwischenstand: Die Gleichungen hat genau zwei Lösungen mit positiven Zahlen.
Jetzt schauen wir nochmal in die Aufgabenstellung und sehen, dass $s\le 100, t\le 100$ gelten muss, was die zweite Lösung ausschließt.
Also, einziges Ergebnis: $s=48, t=78$.
Nachrechnen und Probe kann nicht schaden.