Gegeben sind die folgenden drei Vektoren

\(\vec{x} = \left(\begin{array} {r} -1 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right) \), \(\vec{y} = \left(\begin{array} {r} 2 \\ w \\ 2 \end{array} \right) \), \(\vec{z} = \left(\begin{array} {r} 1 \\ w \\ w \end{array} \right) \), mit w Element von R

(a) Man bestimme alle Werte w für welche die drei Vektoren linear abhängig sind.

Das habe ich gemacht und als Lösung folgendes herausbekommen:

\(\vec{y} = \left(\begin{array} {r} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) \), \(\vec{z} = \left(\begin{array} {r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \)

(b) Für jeden dieser in Aufgabe (a) gefundenen Werte w gebe man eine nicht-triviale Linearkombination der drei Vektoren an, welche den nullvektor liefert, d.h. man finde Skalare \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), \(\lambda_{3}\) mit (\(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), \(\lambda_{3}\)) \(\ne\) (0, 0, 0), sodass
\(\lambda_{1}\vec{x} + \lambda_{2}\vec{y} + \lambda_{3}\vec{z} = \vec{0}\)
Anmerkung: Es wird verlangt, dass die Aufgaben mit den Methoden der Linearen Algebra systematisch gelöst werden und nicht durch "Herumprobieren"!

Meine Frage nun ist, wie bekomme ich hier nicht-triviale Lösungen ohne "Herumprobieren"?
Kann ich für ein \(\lambda\) einfach einen Wert annehmen und dann die restlichen ausrechnen? Wäre das dann das besagte "Herumprobieren", oder ist das notwendig um an eine Lösung zu kommen? Mir ist nämlich nicht bewusst, wie ich auf eine bestimmte Lösung kommen soll, wenn sich z.B. in einem Gleichungssystem (aufgrund der linearen Abhängigkeit) eh alles wegkürzen würde.

Danke im Voraus!