Bildung von Stammfunktion bei E-Funktion

Aufrufe: 425     Aktiv: 18.10.2022 um 10:39

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Mir ist der Ablauf bei der Aufgabe einigermaßen klar. Jedoch verstehe ich nicht von wo bei der Aufleitung die 1/2, zwischen -2 und e^2x her kommen.

Aufgabe und Lösungsweg sind gegeben:




Vielen Dank :D

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Schüler, Punkte: 16

 
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Moin,
es wurde eine lineare Substitution durchgeführt. 
Es ergibt sich beim integrieren von \(e^{2x}\) das Problem, dass nur die Stammfunktion von \(e^x\) bekannt ist. Man umgeht dieses Problem, indem man eine lineare Substitution durchführt: \(u=2x\). Jetzt muss man nur noch die Stammfunktion von \(e^{u}\) finden, die ja bekanntermaßen \(e^{u}\) ist. Allerdings integrieren wir ursprünglich über x, wollen es jedoch über u tun. Wenn man nun \(u=2x\) ableitet erhält man \(du=2dx\) oder \(dx=\frac{1}{2}du\). Fügt man das alles zusammen erhält man \(\int{e^{2x}dx}=\int{e^u}dx=\int{\frac{1}{2}e^u}du=\frac{1}{2}e^u=\frac{1}{2}e^{2x}\).
Das kann man verallgemeinern zu: \(\int{e^{ax}}dx=\frac{1}{a}e^{ax}\)
LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

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Leite doch mal ab. Dann sollte nach der Kettenregel klar sein, wo der Faktor herkommt. Allgemein gilt für $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$, dass $F(x)=\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

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Die Frage stellt sich nur, weil Du die Lösung liest, statt selbst zu rechnen.
Wie würdest Du denn eine Stammfunktion von $2\cdot e^{2x}$ berechnen und was erhälst Du?
Lösungen dienen zur Kontrolle, NACHDEM Du selbst gerechnet hast.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Ich habe probiert die Aufgabe vorher zu rechnen. Ich hatte jedoch keine Idee, wie ich daran gehen soll, weil das meine erste Aufgabe zur Analysis nach langer Zeit ist. Wollte gerade wieder rein kommen und konnte mir das nicht erklären.   ─   user78f2d5 14.10.2022 um 20:42

Ja, das Problem ist das wir nächste Woche nh Klausur schreiben mit allen 3 Semester Themen (Abiturlänge). Im Unterricht haben wir jedoch dieses Semester nur Analytische Geometrie gemacht, welches ich nicht einmal wirklich drauf habe, und jetzt müssen wir auch noch alleine zuhause Analysis und Stochastik wiederholen. Da bleibt mir nicht wirklich die Zeit um erstmal mit einfacheren Aufgaben anzufangen.
Hinzu kommt noch das unser Lehrer nicht mal richtig deutsch spricht und uns immer nur alleine Aufgaben berechnen lässt. Aber das ist ein anderes Thema.
Ich probier jedenfalls mein bestes zu geben.
  ─   user78f2d5 15.10.2022 um 10:25

Verstehe Ihren Ansatz.
Zum einen jedoch, war die Aufgabe jetzt nun auch nicht so kompliziert. Durch den Hinweis von cauchy, habe ich die Aufgabe relativ schnell verstehen können.
Zum anderen ist es nicht meine Strategie lieber die schweren Aufgaben zu machen, weil ich die einfachen schon nicht verstehe. Da ich in einigen Bereichen ja schon Grundlagen geschaffen haben, war mein Ansatz vielmehr sich durch die Abituraufgaben durchzuarbeiten und bei den Themen, bei denen ich hängen bleibe mich mit leichteren Aufgaben zu beschäftigen um so wenigstens die Grundlagen zu schaffen und um zu sehen wo ich scheinbar noch Übungsbedarf brauche.
Sie haben jedoch recht in dem Punkt, dass ich dabei sehr häufig hängen bleibe. Nach der Aufgabe ist mir also klar geworden, dass es wohl besser ist, wenn ich mich zunächst einmal mit der Kurvendiskussion an sich näher beschäftige und das auf und ableiten von Funktionen üben muss.
Trotzdem vielen Dank.
  ─   user78f2d5 15.10.2022 um 18:37

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Wenn meine Antwort die ausschlaggebende Hilfe war (gern geschehen), warum wird dann die anderen Antwort, die wie mikn schon sagte, viel zu kompliziert ist, abgehakt?

Es bringt nichts, Aufgaben zu machen, wenn die Grundlagen fehlen. In der Regel werden die Themen auch in einer sinnvollen Reihenfolge im Unterricht behandelt. Man kann durchaus mit schwierigen Aufgaben üben. Das setzt allerdings voraus, dass man die Grundlagen auch kann. Und dazu zählen eben sämtliche Rechenregeln, die irgendwo in deinen Unterlagen stehen sollten. Es ist außerdem sinnvoll, sich diese noch einmal gesondert irgendwo zusammenzufassen, damit man jederzeit darauf zurückgreifen kann. Der Rest ist dann wirklich nur noch Anwendung und Übungssache.
  ─   cauchy 15.10.2022 um 18:59

"In der Regel". Bei uns leider nicht wirklich.

Du bist also der Meinung, dass ich jetzt in der kurzen Zeit die Grundlagen üben sollte und dann in der Klausur halt nur das zu machen was ich verstehe?
  ─   user78f2d5 17.10.2022 um 20:10

Es ist schwer zu beurteilen, wie dein aktueller Wissensstand allgemein ist. Das kann man so pauschal also nicht beantworten. Ich denke aber mal, dass der Termin und der Inhalt der Klausur schon etwas länger feststeht. Wenn man also weiß, dass man Schwierigkeiten hat, muss man einfach deutlich früher anfangen zu lernen. Oder man muss sich jetzt halt wirklich sehr intensiv damit befassen und retten, was noch zu retten ist. Aber wie gesagt, es ist schwierig, das einzuschätzen, wenn man dich nicht kennt.   ─   cauchy 17.10.2022 um 20:20

Alles Klar. Vielen Dank für eure Hilfe. Ich werde es probieren. Ich denke zwar nicht, dass das morgen so gut laufen wird, aber es gibt ja auch noch weitere Klausuren.
Ich bin übrigens nicht der einzige der Probleme hat, bis auf 2 Streber in unserem Kurs, die beide Medizin studieren möchten, ist gerade jeder überfordert. Und viele aus unserem Kurs standen in der 11. Klasse noch bei 13/14 Punkten in Mathe. Einige Grundlagen sind daher schon geschaffen, denke ich.
  ─   user78f2d5 18.10.2022 um 10:39

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.