Abgeschlossen, Kompakt, hausdorff

Aufrufe: 27     Aktiv: 27.04.2021 um 11:41

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Sei f:X -> Y eine stetige Abbildung. Es gelte Y ist quasi kompakt und Y ist hausdorff. Dann ist f eine abgeschlossene Abbildung, d.h f hat die folgende Eigenschaft: ist A abgeschlossene Menge in X, dann ist f(A) abgeschlossene Menge in Y

Beweis 
A teilmenge X ->( aus x quasi-kompakt) A quasi-kompakt-> f(A) quasi-kompakt ->(aus Y hausdorff) f(A) abgeschlossen 


Es geht um den Beweis des Satzes 

der erste Schritt ist mir klar 
meine Frage geht und den zweiten und den dritten Schritt: 
zum 2ten. Stimmt es, das f(A) einfach quasi-kompakt ist, weil A kompakt ist? 

Zum 3.ten Wieso schließt man dies daraus das Y Hausdorf ist? 

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Stetige Abbildungen bilden quasi-kompakte Mengen auf quasi-kompakte Mengen ab, das ist korrekt, ja. Das ist eine einfache Übungsaufgabe, die die Definition von Kompaktheit und Stetigkeit verwendet. Ebenso kann man folgern, dass kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen abgeschlossen sind. Der Beweis ist ein kleines bisschen schwieriger, aber immer noch absoluter Standard, wahrscheinlich wurden beide Aussagen in deiner Vorlesung bereits gezeigt. Wenn du noch Fragen zu dem Beweis einer der beiden Aussagen hast, kannst du dich gerne nochmal melden.
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