Stetige Abbildungen bilden quasi-kompakte Mengen auf quasi-kompakte Mengen ab, das ist korrekt, ja. Das ist eine einfache Übungsaufgabe, die die Definition von Kompaktheit und Stetigkeit verwendet. Ebenso kann man folgern, dass kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen abgeschlossen sind. Der Beweis ist ein kleines bisschen schwieriger, aber immer noch absoluter Standard, wahrscheinlich wurden beide Aussagen in deiner Vorlesung bereits gezeigt. Wenn du noch Fragen zu dem Beweis einer der beiden Aussagen hast, kannst du dich gerne nochmal melden.