Untervektorraum bestimmen

Aufrufe: 212     Aktiv: 29.07.2023 um 17:46

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Es geht um den folgenden Unterraum der zu prüfen ist:
U = {(x, y, z): x^2 - y^2 + z^2 = 0, x - y + z = 0, x + y = 0 } in R^3

Aus der letzten Gleichung geht y = -x hervor.
Jetzt steht in der Lösung, dass wenn man das in die erste Gleichung ersetzt erhält man:
0 = x^2 + (−x)^2 + z^2 = x^2 − x^2 + z^2 = z^2 ⇒ z^2 = 0 ⇒ z = 0.

Aber warum ist es x^2 + (−x)^2 und nicht x^2 - (−x)^2 ? Das y wird ja mit einem -x ersetzt in Klammern, wieso ändert sich das Vorzeichen davor?
Und irgendwas Negatives hoch 2 wird wieder positiv, wieso ist dann x^2 − x^2 in der Gleichung danach? Handelt es sich hierbei um einen Fehler?
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1 Antwort
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Das + ist offensichtlich ein Fehler, im nächsten Schritt geht es ja richtig weiter.
Interessanter ist die Frage, was überhaupt die Aufgabe ist. "Ein UR, der zu prüfen ist.": Ist es nun einer, was soll dann geprüft werden? Oder ist es eine Menge U, die auf UR zu prüfen ist?
Und welches Problem du mit der Aufgabe hast, dass du in die Lösung schauen musst und dich dabei noch verwirren lässt
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Doch, ist ein Unterraum. Der triviale, der nur die $\{ 0 \}$ enthält. Gleichung 1 und 3 forcieren $x=-y$ und $z=0$ und dann erzwingt Gleichung 2 zusammen mit Gleichung 3 $x=y=0$ und somit $x=y=z=0$.   ─   crystalmath 29.07.2023 um 17:24

Stimmt, hab's korrigiert.   ─   mikn 29.07.2023 um 17:45

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