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Es geht um Folgendes: Für \(f(x)=2\sqrt{x}+1\) in \((0,4)\) und \(f(x)=a\cdot x+3\) in (4,\infty)\) soll man \(a\) finden, so dass \(\lim_{x\to 4-}f(x)=\lim_{x\to 4+}f(x)\) gilt. Eigentlich sollte man es so schreiben: \(\lim_{x\to 4-}f(x)=\lim_{x\to 4-}(2\sqrt{x}+1)=\lim_{x\to 4}(2\sqrt{x}+1)=5\) und \(\lim_{x\to 4+}f(x)=\lim_{x\to 4+}(a\cdot x+3)=\lim_{x\to 4}(a\cdot x+3)=4a+3\). Das ergibt die Gleichung für \(a\). Weil die beiden Ausdrücke in Deiner ersten Zeile stetig sind, kann man die zweite Zeile eigentlich weglassen. Du hast also Recht damit, dass man es nicht verstehen kann.
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slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
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Dann, wenn die Formeln für rechts und links vom Übergangspunkt nicht offensichtlich auf der jeweils anderen Seite definiert sind. Betrachte z.B. \(f(x)=\sqrt{x}\) für \(x\ge0\) und \(f(x)=-\sqrt{-x}\) für \(x<0\). Um die Stetigkeit von \(f\) in \(0\) zu prüfen rechnet man für eine beliebige positive Nullfolge \((h_n)\): \(\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(-h_n)=\lim_{n\to\infty}(-\sqrt{h_n})=0\) und \(\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(h_n)=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{h_n})=0\). Somit stimmen die beiden Grenzwerte überein und \(f\) ist damit stetig in \(0\).
─ slanack 29.10.2020 um 19:41
─ slanack 29.10.2020 um 19:41
─ dekr 29.10.2020 um 15:51