In dem durch seine beiden parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\) charakterisierten Trapez lassen sich eine Menge ähnlicher oder flächengleicher Dreiecke finden. (Die blau eingezeichneten Strecken \(m\) sind auch interessant; wir werden sie aber nicht brauchen.)
Aus
\[ \text{(1)}\qquad \Delta ABM \sim \Delta CDM \]
kann man schließen, dass
\[ \text{(2)}\qquad h_1 : h_2 = \sqrt{S_1} : \sqrt{S_2} \,.\]
Zieht man von den beiden Flächen
\[ \text{(3)}\qquad A_{\Delta ABC} = A_{\Delta ABD} \]
jeweils \(A_{\Delta ABM}\) ab, erhält man
\[ \text{(4)}\qquad S_3 := A_{\Delta BCM} = A_{\Delta DAM} \,.\]
Die Fläche des ganzen Trapezes ist
\[ \text{(5)}\qquad A_T = \textstyle \frac{1}{2} (a+c)(h_1+h_2) \,,\]
welche sich aus den Teilen
\[ \text{(6)}\qquad A_T = S_1 + S_2 + 2 S_3 \]
zusammensetzt. Andererseits ist
\[ \text{(7)}\qquad S_1 + S_3 = A_{\Delta ABC} = \textstyle \frac{1}{2} a (h_1+h_2) \,,\]
womit wir genug Material besitzen, um das Ergebnis
\[ A_{\Delta ABC} = S_2 + \sqrt{S_1}\sqrt{S_2} \]
zu berechnen.
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