Berechnung von Zylinderkoordinaten

Aufrufe: 63     Aktiv: 18.06.2021 um 17:44

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Guten Tag, ich soll bei dieser Aufgabe von dem Körper K die Zylinderkoordinaten, die Masse sowie den Schwerpunkt berechnen. Mein Problem ist, wie kann ich die Zylinderkoordinaten berechnen ohne Zahlenwerte gegeben zu haben? Und sind die Zylinderkoordinaten nötig, um die anderen Aufgaben zu berechnen? Vielen Dank im Voraus.


Aus dem Zylinder $$Z={(x,y,z) ∈ \mathbb{R^3} : x^2+y^2<1}$$ wird durch die x-y-Ebene als untere und den Paraboloid $$F={(x,y,z) ∈ \mathbb{R^3} : z=4-x^2-y^2}$$ als obere Grenzen ein Körper K herausgeschnitten. Die Massenverteilung des Körpers ist gegeben durch $$p : K\rightarrow \mathbb{R}, p(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2}$$
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Hallo,

Zylinderkoordinaten beschreben ebenfalls ein Koordinatensystem. 

Das bekannte kartesische Koordinatensystem (das aus der Schule) nutzt zur Charakterisieriung eines Punktes einen $x,y$ und $z$ Wert. 

Zylinderkoordinaten nutzen einen Radius und einen Winkel. Dadurch können wir alle Punkte in einer Ebene beschreiben. Dazu gibt es dann wie in den kartesischen Koordinaten noch eine $z$ Koordinate um dann auch den ganzen dreidimensionalen Raum zu beschreiben.

Um von dem einen in das andere Koordinatensystem zu transformieren, gibt es Gleichungen

$$ \begin{array}{ccc} x & = & r \cos \varphi \\ y & = & r \sin \varphi \\ z & = & z  \end{array} $$

Das kannst du in deine Funktionen einsetzen und so tranformieren. 

Beim integrieren musst du nun aber etwas aufpassen, da du hier ein anderes Volumenelement hast. Zylinderkoordinaten gilt

$$ \mathrm dV = r \ \mathrm dr \ \mathrm d \varphi \ \mathrm dz $$

Um nun dein Integral zu bestimmen, brauchst du nur noch die Grenzen. Dafür gucke dir am besten mal eine Skizze an


Wie könnten deine Grenzen aussehen?

Grüße Christian
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Es soll wohl statt der Massen- bestimmt Dichteverteilung \(\rho(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2}\) heißen.
Mit den Zylinderkoordinaten ergibt sich \(V=\int_{r=0}^1\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{4-r^2sin^2\phi-r^2cos^2\phi}rdzd\phi dr\) und damit \(m=\rho\cdot V\)
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