Elementarmathematik (Mengen / Schubladenfach Prinzip)

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Meine Lieben Mathefreunde....... Ich habe aktuell Probleme bei 3 Aufgaben, dass restliche Arbeitsblatt habe ich schon "fertig" aber brauche noch die 3 Aufgaben.. vllt kann mir jemand helfen!

Aufgabe 1:

I) Zeigen Sie: Unter 55 Zahlen zwischen 1 und 100 gibt es stets zwei Zahlen, deren Differenz 9 ist. Gilt dies auch für 54 Zahlen?  
"denke"   Objekte 55 Zahlen (aber Kategorien? können keine Ziffern sein, soweit ich müssen die Kategorien 1x weniger sein als die Objekte)

II) Gegeben sind 5 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten im 2D-Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass mindestens 2 Punkte einen Mittelpunkt mit ganzzahligen Koordinaten haben. Gilt die Aussage auch, falls man 4 Punkte wählt?  
Bei dieser Aufgabe habe ich garkein Ansatz

Aufgabe  4 
I) https://gyazo.com/c57ed203dabdee3b568fab86d8d26895  (Mengen)
Bei dieser Aufgabe kann ich leider auch nichts anfangen, wir haben aktuell das Thema neu im Studium und leider habe ich meine Probleme.. hoffe einer kann mir helfen.
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Hallo,

interessante Aufgaben :) 

Aufgabe 1 i) Hier würde ich mir mal darüber Gedanken machen, wie viele Paare von Zahlen zwischen 1 und 100 gibt es die eine Differenz von 9 haben? Man kann das relativ einfach konstruieren. Wie sieht allgemein so ein Paar aus? Wenn du nun 100-54 Zahlen daraus entfernst, bleibt dann immer mindestens ein Paar übrig?

Aufgabe 1 ii) Als Tipp: Schreibe dir erstmal auf, wie so ein Mittelpunkt aussieht. Dann überlege dir mal, wie die Koeffizienten sein müssen, damit dort eine ganzzahlige Zahl herauskommt. Du kannst dadurch 4 Fälle aufstellen, wie ein ganzzahliger Punkt aussehen kann. Wenn du dann 5 Punkte hast, muss sich einer der Fälle wiederholen. Warum führt das zu ganzzahligen Koeffizienten? Wenn du nur die 4 Fälle hast, ist der Mittelpunkt dann trotzdem immer ganzzahlig? Man kann sich hier schnell ein paar Beispiele konstruieren.

Aufgabe 2) Diese Aufgabe wirkt vielleicht etwas abschreckend, aber stelle doch mal ein paar dieser Mengen/Intervalle auf. Wie sehen die den aus für $n=1,2,3,4$?
Was haben diese Mengen gemeinsam? 

Grüße Christian
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