Vereinfachung von Summen

Erste Frage Aufrufe: 48     Aktiv: 28.05.2021 um 13:49

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Ich habe die Aufgabe, Terme zu vereinfachen, aber duch verschiedene Indices habe ich keine Ahnung wie man hier vorgeht, vllt kann jemand helfen?

, die Lösung:
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2 Antworten
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Hallo,

(b) hier ist es ja prinzipiell egal wie der Laufindex heißt. Du setzt bei der zweiten Reihe zuerst eine Null für \( k \) und dann setzt du für \( j \) und \( k \) eine Eins, dann eine Zwei usw. Du kannst also auch einfach beide Laufindizes gleich nennen

$$ \sum\limits_{j=1}^{2n} a_j  - \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_{2k+1} =  \sum\limits_{j=1}^{2n} a_j  - \sum\limits_{j=0}^{n-1} a_{2j+1} $$

Mach dir das vielleicht einmal klar, indem du die ersten Summanden aufschreibst

$$ \sum\limits_{j=1}^{2n} a_j  - \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_{2k+1} = (a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{2n} ) - ( a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{2n-1}) $$

Man sieht, egal wie der Laufindex genannt wird, es bezieht sich ja trotzdem auf die selbe Koeffizientenfolge \( a_i \). Nun betrachte doch mal die Summanden, was fällt dir auf?

(c) Überlege dir hier mal folgendes: In der inneren Reihe \( \sum\limits_{j=1}^n a_k a_j \), worauf hat der Laufindex keinen Einfluss? Was kannst du mit diesem Faktor also machen. Es hilft auch, sich sowas einfach mal mit festen Zahlen zu bestimmen, beispielsweise \( n=3 \). 

Grüße Christian
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Das ist natürlich kein Beweis, sondern nur plausiblen Schließen, was zum Finden einer Aussage wichtig ist. Beweis mit vollständiger Induktion!
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Es ging ja erstmal nur darum eine Vereinfachung zu finden. Aber absolut richtig, dass man die Richtigkeit der Vereinfachung dann mittels vollständiger Induktion beweisen muss. :)   ─   christian_strack 28.05.2021 um 13:49

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