Ungleichung 2.Grades

Aufrufe: 77     Aktiv: 13.10.2021 um 22:56

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Hallo! 

Kann jemand kurz einen Blick drauf werfen und schauen, ob dies auch so stimmt? :)

 

> Die Aufgabe lautet wie gefolgt: 

x^2 - x + 1 <= 3

> Mein Lösungsweg:  

1.) 
x^2 - x + 1 <= 3   | - 3 

2.) x^2 - x - 2 <= 0   | - 3 

==> x^2 - x - 2 = 0   

Nun habe ich hier oben eine Gleichung 2. Grades, welches ich mithilfe der Mitternachtsformel löse: 

a = 1, b = 1, c = -2

=> x1 = (-1 + 3) /2 = 1

=> x2 = (-1 - 3) /2 = -2 

Somit lautet die Lösungsmenge wie gefolgt: 

L1 = ] -∞; 1],

L2 = [-2; 1],

L3 = [-2; ∞[

 

 

 

 

 

 

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2 Antworten
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Die Vorzeichen der Nullstellen sind falsch. Und die Schlussfolgerung der Lösungsmenge ist auch falsch. Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung, nicht der Ungleichheit! Du musst also mit Hilfe der Nullstellen noch untersuchen, in welchem Intervall tatsächlich $\leq 0$ gilt.
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Selbstständig, Punkte: 12.87K

 

Ahja stimmt, dann kommt dann natürlich was anderes heraus, wenn ich die Vorzeichen der Nullstellen korrigiere (Danke!):

a = 1, b = -1, c = -2

=> x1 = (1 + 3) /2 = 2

=> x2 = (1 - 3) /2 = -1

Lösungsmenge L = [2; -1]


Warum <= 0 ? Laut der Aufgabe muss ich doch ein Intervall finden für x, welches <= 3 ist, nicht?

Denn das hier ist ja die Aufgabe: x^2 - x + 1 <= 3
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 20:14

Ja und das hast du doch auf eine Ungleichung $\leq 0$ zurückgeführt... Die Lösungsmenge ist immer noch falsch, weil dort ja GLEICH 0 gilt.   ─   cauchy 12.10.2021 um 20:22

Ups, ja, tut mir leid.

Also die Lösungsintervalle lauten mal:

L1 = ]-∞; 2], L2 = [2; -1], L3 = [-1; ∞[

Oder?


Und wenn ich einsetze, also zum Beispiel für x = 3 und dann einmal für x = -2, dann weiß ich, dass es ab hier nicht mehr <= 0 ist.

Somit muss das Intervall doch zwischen -1 und 2 liegen, also kann die Lösungsmenge nur so lauten: L = [2; -1]
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 20:45

Bei $L_1$ und $L_3$ sind die Intervalle offen. Sonst passt es aber.   ─   cauchy 12.10.2021 um 20:57

Oh, also die Lösung stimmt nun, also L = [2; -1], oder? :)

Und was meinst Du genau bei L1 und L3? Müssen die geschlossen sein?
Weil ich habe nur bei einer Seite irgendwie gelesen, dass diese dann offen sein müssen....weiß aber nicht, ob das so stimmt.

https://www.mathebibel.de/quadratische-ungleichungen#gemischtquadratisch-mit-absolutglied
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:04

Sie sind ja nicht offen. Die eine Grenze ist jeweils einschließend. Das kann aber nicht sein, weil diese Werte bereits in $L_2$ enthalten sind.   ─   cauchy 12.10.2021 um 21:05

L1 = ]-∞; 2[,
L2 = [2; -1],
L3 = ]-1; ∞[


Also dann muss das Intervall offen sein bei L1 und L3, oder? So, dass die 2 und die -1 ausgeschlossen sind.

  ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:14

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Ja genau.   ─   cauchy 12.10.2021 um 21:17

Ah, ja macht auch viel mehr Sinn.

Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe! ;-)
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:20

Das stimmt alles gar nicht. Nutze die abc-Formel zum Faktorisieren:
$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. Nun überlege, wann ein Produkt §\le 0$ ist und Du findest (Aussagenlogik!) EIN richtiges Intervall. Rumraten mit den Nullstellen führt zu nichts. Probe kann auch nicht schaden (die schnell zeigt, dass Dein Ergebnis nicht stimmt).
  ─   mikn 12.10.2021 um 21:24

Uhm, setze ein und Du wirst sehen, dass das Ergebnis sehr wohl stimmt.   ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:27

Welche hast Du eingesetzt? -3 ist in L1, aber erfüllt nicht die Ungleichung.   ─   mikn 12.10.2021 um 21:31

Der Ausdruck ist eine nach oben geöffnete Parabel. Also muss der Ausdruck in $L_1$ und $L_3$ positiv sein. Folglich in $L_2$ negativ.   ─   cauchy 12.10.2021 um 21:32

Wenn man -3 einsetzt, dann stimmt es ja nicht, soll ja auch nicht in der Lösungsmenge dazugehören.

3^2 - 3 - 2 = 4 und 4 ist nicht kleiner 0!


Ich verstehe jetzt nur noch Bahnhof. Passt es nun oder nicht?
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:32

Ich sehe oben drei Lösungsmengen, steht irgendwo jetzt, was wirklich die Lösungsmenge sein soll?   ─   mikn 12.10.2021 um 21:39

Ja, das habe ich ja oben hingeschrieben.

Die Lösungsmenge ist L = [2; -1].
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:41

Das steht da zwar, aber danach redest Du weiter von L1 und L3. Das tut man ja nicht, wenn man weiß, dass man fertig ist. Außerdem ist [2,-1] nicht die richtige Schreibweise für ein Intervall.   ─   mikn 12.10.2021 um 21:46

Das sind potenzielle Lösungsintervalle und keine eindeutige Lösungsmenge!

Und wie soll dann die "richtige" Schreibweise eines Intervalls deiner Meinung nach ausschauen?
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:48

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Die Grenzen sind falsch rum. Erst kommt die kleinere Grenze. Das hatte ich oben aber auch irgendwie übersehen.   ─   cauchy 12.10.2021 um 21:50

Danke Dir, dann sollte es so passen, würde ich mal sagen! ;-)

L = [-1; 2]
  ─   user7dde99 12.10.2021 um 21:51

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Allgemeine Lösung für eine quadratische Ungleichung: 
\(x^2+px+q\leq 0\iff (x-x_1)(x-x_2)\leq 0\iff x\geq x_1\land x\leq x_2;x_1\leq x_2;x_1,x_2 \in R\)
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Vielen Dank! ;-)

Ist das eine weitere Variante eine quadratische Ungleichung zu lösen?
  ─   user7dde99 13.10.2021 um 19:22

Die Angabe in dieser Antwort ist unvollständig. Ich hab Dir diese Variante oben in der ersten Variante schon erklärt.   ─   mikn 13.10.2021 um 22:56

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