Direkte Summe und Idempotenz

Aufrufe: 582     Aktiv: 16.01.2021 um 14:48
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Hallo :)

Das ist die Aufgabe:

Meine Vermutung ist, dass es für alle linearen Abbildungen gilt, die idempotent sind, also \(\phi=\phi^{2}\)

Die Implikation dass aus der Idempotenz die Darstellung als direkte Summe folgt, habe ich schon, aber ich schaffe es nicht die andere Richtung zu zeigen. Stimmt meine Vermutung überhaupt? Und wenn ja, wie könnte ich ansetzen?

 

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1 Antwort
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Deine Vermutung stimmt. Setze jetzt für beliebiges \(x\in V\) die eindeutige Darstellung von \(x\) als Summe zweier Elemente aus \(\mathrm{Kern}\,\varphi\) und \(\mathrm{Bild}\,\varphi\) an. Überlege Dir anhand dieser Darstellung, was \(\varphi(x)\) ist. Dann solltest Du sofort drauf kommen.

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Soweit war ich auch schon, aber wenn ich jetzt ansetze x=a+b mit a aus dem Kern und b aus dem Bild, dann wäre ja φ(x)= φ(b).
Aber φ( φ(x))= φ(φ(b)). Woher weiß ich denn dann, dass die gleich sind? Oder habe ich da einen Denkfehler?   ─   lunaphile 15.01.2021 um 21:27
Sorry, habe mich oben getäuscht, die Implikation stimmt nicht. Nimm als Gegenbsp. \(x\mapsto 2x\) in \(\mathbb{R}\).   ─   slanack 15.01.2021 um 23:51
Stimmt...
Gilt die Aussage aus der Aufgabe dann tatsächlich für alle Endomorphismen? Und wie könnte ich das zeigen? Ich stehe leider total auf dem Schlauch...   ─   lunaphile 16.01.2021 um 12:31
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Nein, man kann einfache Gegenbeispiele konstruieren. Nimm \(V:=\mathbb{R}^2\) und eine Darstellungsmatrix \(A\neq0\) mit \(A^2=0\). Vielleicht habt Ihr ja nilpotente Matrizen oder Homomorphismen schon behandelt, dann weisst du sicher, wie \(A\) aussehen könnte. Versuche dann zu zeigen, dass die behauptete Darstellung von \(V\) als direkte Summe nicht zutrifft.   ─   slanack 16.01.2021 um 13:23
Stimmt! Vielen Dank, ich hab es jetzt hinbekommen :)   ─   lunaphile 16.01.2021 um 14:48

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