Grenzwert berechnen

Aufrufe: 59     Aktiv: 01.02.2021 um 19:20

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komm hier nicht weiter ??
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umgeschrieben lautet der Ausdruck ja x^n/e^x, lässt man nun sehr große x-Werte zu, so werden die Nennerwerte deutlich höher als die Zählerwerte, so dass letztlich der Ausdruck gegen Null strebt. (man sagt auch, die e-Funktion dominiert)
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selbstständig, Punkte: 3.56K
 

@monimust das ist zwar nicht falsch was du sagst, aber laut Aufgabenstellung steht ja da berechne ;D   ─   maqu 01.02.2021 um 18:53

@maqu, ja, das ist hier (im Forum) genau das Problem, dass man oft nicht weiß, auf welcher Stufe sich der Fragende befindet. Diese Formulierung gibt's in der Schule auch, genau so wie zeige und man muss immer erst herausfinden, wie der Lehrer es haben möchte. Andererseits sind viele Schüler mit studentengerechten Antworten überfordert und verstehen nur Bahnhof.   ─   monimust 01.02.2021 um 19:11

@monimust ja ich gebe dir recht, es ist manchmal schwer zu differenzieren, aber hier denk ich bei Aufgabe Nummer 100 wird es sich wahrscheinlich um Prüfungsvorbereitung an der Uni handeln ^^ ... aber deswegen habe ich meine Antwort noch gegeben, weil es denke ich trotzdem eine angemessene Ergänzung ist   ─   maqu 01.02.2021 um 19:20

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Es gilt $$x^n\cdot e^{-x}=e^{n \cdot \ln x}\cdot e^{-x}=e^{n \cdot \ln( x)-x }$$Den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty}n \cdot \ln(x)-x\) solltest du einfach berechnen können.
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Student, Punkte: 1.71K
 

@mathejean tatsächlich kann ich nicht erkennen, warum das einfacher sein sollte ... vielleicht habe ich aber auch Scheuklappen auf^^ ... kannst du mir noch einen Wink geben (Abschätzen und mit Sandwich-Theorem oder wie?) ... ich hätte wenn dann noch die Idee die Reihendarstellung der e-Funktion zu verwenden und damit zu argumentieren, aber n-mal L'Hospital scheint mir am kürzesten zu sein   ─   maqu 01.02.2021 um 18:56

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Viel einfacher geht es mit L'Hospital!
Du hast ja mit \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{x^n}{e^x}\) den "Grenzwert" "\(\frac{\infty}{\infty}\)".

Nachdem du also L'Hospital angewendet hast, hast du mit \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{n\cdot x^{n-1}}{e^x}\) wieder "\(\frac{\infty}{\infty}\)".

Auch nach nochmaligen Anwenden von L'Hospital hast du mit \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{n\cdot (n-1)\cdot x^{n-2}}{e^x}\) wieder "\(\frac{\infty}{\infty}\)"

....

Also erhälst du nach \(n\)-maligem Anwenden von L'Hospital: \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{n!}{e^x} =0\) und damit ist dann auch \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{x^n}{e^x}=0\).


Hoffe das hilft dir weiter.
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