umgeschrieben lautet der Ausdruck ja x^n/e^x, lässt man nun sehr große x-Werte zu, so werden die Nennerwerte deutlich höher als die Zählerwerte, so dass letztlich der Ausdruck gegen Null strebt. (man sagt auch, die e-Funktion dominiert)

Es gilt $$x^n\cdot e^{-x}=e^{n \cdot \ln x}\cdot e^{-x}=e^{n \cdot \ln( x)-x }$$Den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty}n \cdot \ln(x)-x\) solltest du einfach berechnen können.

Viel einfacher geht es mit L'Hospital!
Du hast ja mit \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{x^n}{e^x}\) den "Grenzwert" "\(\frac{\infty}{\infty}\)".

Nachdem du also L'Hospital angewendet hast, hast du mit \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{n\cdot x^{n-1}}{e^x}\) wieder "\(\frac{\infty}{\infty}\)".

Auch nach nochmaligen Anwenden von L'Hospital hast du mit \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{n\cdot (n-1)\cdot x^{n-2}}{e^x}\) wieder "\(\frac{\infty}{\infty}\)"

....

Also erhälst du nach \(n\)-maligem Anwenden von L'Hospital: \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{n!}{e^x} =0\) und damit ist dann auch \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{x^n}{e^x}=0\).


Hoffe das hilft dir weiter.