Geordneter Körper auf Menge KxK

Aufrufe: 104     Aktiv: 28.10.2021 um 02:09

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Auf der Menge $KxK$ sind folgende Verknüpfungen definiert: $(a, b) + (x, y) := (a + x, b + y) \\
(a, b) · (x, y) := (ax − by, ay + bx).$


Wie kann man das genau zeigen. Ich verstehe auch nicht ganz was $(0,1)^2$ bedeuten soll.
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Nachdem meine erste Antwort auf einer offensichtlich von mir falsch verstandenen Schreibweise beruhte (vielen Dank für den etwas übermotivierten Downvote), versuche ich es nochmal mit einem vielleicht etwas geordneteren Ansatz.

Die Anordnungs-Axiome, die gelten müssen, sind doch vermutlich - unter Voraussetzung, dass eine Ordnungsrelation $\leq$ existiert - diese:
1. Wenn $a\leq b$, dann gilt für alle $c\in K$: $a+c\leq b+c$
2. Wenn $a\geq 0$ und $b\geq 0$, dann gilt $a\cdot b\geq 0$.

Daher sollte bei einer Lösung Bezug auf diese genommen werden - für eine beliebige Ordnungsreation.

Folgende Schritte sollten aus meiner Sicht bei einer Lösung daher festgehalten (und auch begründet) werden, um auf einen Widerspruch zu kommen.

a) Aus den gegebenen Verknüpfungen folgt: $(0,0)$ ist neutrales Element der Addition, $(1,0)$ ist neutrales Element der Multiplikation
b) $(-1/0)$ ist Inverses bezüglich der Addition zu $(1/0)$.
c) Es folgt $(1,0)>(0,0)$ (aus dem zweiten Axiom)
d) Es folgt dann $(-1,0)<(0,0)<(1,0)$ (aus dem ersten Axiom)
e) Frage: Ist $(0,1)$ oder ist $(0,-1)$ größer als $(0,0)$ ? Eines der beiden muss größer als Null sein (erstes Axiom)
e1) Berechne das Produkt $ab$ für $a=b=(0,1)$
e2) Berechne das Produkt $ab$ für $a=b=(0,-1)$
Formuliere den Widerspruch.
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da $ab >= 0$ sein muss gibts einen Widerspruch mit dem zweiten Axiom, weil $(0,1)*(0,1)>= 0$ sein muss aber aus multipliziert bekommt man $(-1, 0)>= 0$ und das ist ein Widerspruch. Bei e2) weiß nicht ganz auf was du hinaus willst, weil das müsste ja dann $(-1, 0)$ sein.   ─   skinnybug 27.10.2021 um 21:15

Ich will darauf hinaus, dass das zweite Axiom ja nur dann ein positives Ergebnis erzwingt, wenn beide Faktoren positiv sind.
Wir wissen aber nicht, ob (0,1) oder ob (0,-1) positiv ist - oder habe ich etwas übersehen?. Denn wenn man zwei negative Zahlen multipliziert, wird vom Axiom ja nicht gefordert, dass das Ergebnis positiv ist, deshalb ist das alleine noch kein Widerspruch (wenn Du dazu eine schon bewiesene Behauptung benutzen darfst, geht es hier natürlich schneller - davon bin ich aber nicht ausgegangen).
Es kommt nun in beiden Fällen e1 und e2 das gleiche heraus, nämlich (-1,0), wie Du errechnet hast. Dieses Ergebnis ist in beiden Fällen negativ.
Ist jetzt (0,1) oder ist (0,-1) positiv? Was folgt aus der Antwort auf diese Frage?
  ─   joergwausw 27.10.2021 um 22:18

Ok, es hat mich nur verwirrt weil in der Angabe nur der konkrete Fall $(0,1)^2$ zu betrachten ist. Und die Antwort auf die Frage: Wenn ich sage das $(0,1)$ positiv ist dann muss (0,-1) negativ sein und wenn $(-1,0)$ positiv ist dann muss (0,1) negativ sein. Nur dachte ich mir das man ja die zwei Axiome beweisen muss, und wenn ich auf die zwei Axiome zurückgreife, dann müsste das was ich ja vorher geschrieben habe passen? Oder ist das komplett falsch?   ─   skinnybug 27.10.2021 um 22:44

Ich kenne nicht alle Voraussetzungen, die Dir in Form von bewiesenen Aussagen zur Verfügung stehen (eigentlich weiß ich nicht einmal ob die beiden Anordnungsaxiome bei Dir genauso formuliert waren - es gibt für das zweite Axiom auch andere Möglichkeiten, die zur genannten Aussage äquivalent sind, so dass man die von mir zitierte Version daraus ableiten muss).

Vielleicht wurden bei Dir in der Vorlesung oder in einer vorigen Aufgabe irgendwo die Relationen $(1,0)>0$ und $(0,1)>0$ schon bewiesen oder als wahr angenommen. Dann ist man sofort fertig, weil beim Quadrat eines positiven Elements etwas Negatives herauskommt (Widerspruch zum zweiten Axiom). Das ist die Argumentation, die Du vorher geschrieben hast (ich nehme an, dass Du das so gemeint hast, weil es nicht ganz eindeutig formuliert ist - der ausdrückliche Bezug zu den Axiomen fehlt).
Diese beiden Relationen habe ich beim obigen Ablauf aber nicht vorausgesetzt. Die erste Relation wird bei diesem Ablauf hergeleitet (für jeden Körper und jede Ordnungsrelation).
Wenn bewiesen ist, dass die zweite Relation $(0,1)>0$ nicht gelten kann, reicht das aber nicht aus. Es reicht nur dann, wenn gezeigt oder angenommen wird, dass $(0,-1)$ auf jeden Fall negativ ist. Davon bin ich aber nicht ausgegangen. Und so kommt es zu einem etwas anders gelagerten Widerspruch, den ich so formuliert hätte:
Aus e1 folgt, dass $(0,1)$ nicht positiv sein kann. Aus e2 folgt, dass $(0,-1)$ nicht positiv sein kann. Dass beide gleichzeitig negativ sind, widerspricht aber der Tatsache, dass die Summe der beiden Null ergibt und das neutrale Element der Addition eindeutig ist.

Nur zur Sprechweise:
Du kannst Axiome nicht beweisen. Sie bilden die Grundannahmen, die als gültig gesetzt werden. Du musst prüfen, ob diese Axiome für einen vorgegebenen Körper mit seiner Menge und seinen Verknüpfungen sowie die dazu definierte Ordnungrelation gelten. Hier kann man üblicherweise nur nach Widersprüchen suchen - oder man braucht eine in sich geschlossene Rechnung, die eindeutige Ergebnisse liefert...
  ─   joergwausw 27.10.2021 um 23:37

OK danke für die zusätzliche Info, wusste ich Großteils nicht.   ─   skinnybug 28.10.2021 um 02:09

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Wenn \(K\) angeordnet ist gilt für \(a,b\in K^+\) auch \(a\cdot b\in K^+\). Betrachte nun \(K:= \mathbb{K}\times \mathbb{K}\). Da \((1,0)\not = 0\) ist entweder \((1,0)\in K^+\) oder \(-(1,0)=(-1,0) \in K^+\). Betrachte nun jeweils \((1,0)^2\) und \((-1,0)^2\) wobei \(a^2:=a\cdot a\) für \(a\in K\) gilt. Was stellst du fest?
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Student, Punkte: 5.47K

 

$(1,0)^2$ und $(-1,0)^2$ ist das gleiche also wieder (1,0)   ─   skinnybug 26.10.2021 um 20:06

läuft das darauf hinaus, dass man sagt $(-1,0)< (1,0)$ und wenn man das ganze dann quadriert, dass diese Ordnung nicht mehr gilt?   ─   skinnybug 27.10.2021 um 01:20

Sei oBdA \((1,0) \in K^+\). Betrachte nun \((0,1)\). Es ist entweder \((0,1) \in K^+\) oder \((0,-1) \in K^+\). Wäre \((0,1) \in K^+\), dann müsste auch \((0,1)^2\in K^1\) sein, es ist aber \((0,1)^2=(-1,0) \not \in K^+\). Betrachte nun \((0,-1)\)   ─   mathejean 27.10.2021 um 08:31

ok ich habs glaub ich gerade verstanden, bei $(0,-1) \in K^-$ und $(0,-1)^2 = (-1,0) \in K^-$ also bei (0,-1) funktioniert es und bei (0,1) geht es sich nicht aus,deshalb ist es kein geordneter Koerper? Meinst du mit $K^1$ eigentlich $K^+$?   ─   skinnybug 27.10.2021 um 12:07

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