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Beim Üben der nützlichen Regel



bin ich auf folgendes Beispiel gestoßen:



Hier liegt ja offensichtlich - sogar ohne irgendwelche Umformungen - der Fall vor, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist, trotzdem lässt sich die Regel hier nicht anwenden, da das Ergebnis dann schlicht falsch ist. Die Lösung ist (für mich auch nachvollziehbar):

und eben nicht ln[ 2 x^(1/2) ]

Bedeutet das, dass man die Regel, so wie sie formuliert ist, einfach nicht direkt anwenden kann bzw. sie hier einfach "fehlschlägt" oder handelt es sich um einen Denkfehler meinerseits?
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Es gilt ja auch $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$. Der Faktor $\frac{1}{2}$ gehört dann logischerweise zur Ableitung im Zähler. Die Regel passt also.

Alternativ lässt sich der Bruch mit Hilfe der Potenzgesetze auch schreiben als $\frac{1}{2x}$.
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Das ist für mich alles nachvollziehbar. Mir geht es eher darum, mir eine Faustregel zu erarbeiten, um bspw. im Prüfungsstress bei solchen Fällen nicht "reinzulaufen". Wenn ich "stumpf" die Regel, so wie sie dasteht anwende wird es ja falsch, also denke ich mal, die richtige Herangehensweise ist einfach, zuerst die Vorfaktoren innerhalb des Bruches "aufzuräumen" / richtig zuzuordnen.   ─   user2c1030 31.05.2022 um 16:47

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So ist es. Schaue, welche Koeffizienten du für die Ableitung im Zähler brauchst und schmeiß den Rest dann vor das Integral. Beispielsweise lässt sich $\frac{6x^2}{5x^3}=\frac{2}{5}\cdot \frac{3x^2}{x^3}$ schreiben. Allerdings finde ich es bei solch einfachen Termen wirklich leichter, das Ganze zu kürzen, so dass man direkt $\frac{6}{5x}$ erhält.

Man sollte also nie "stumpf" Regeln anwenden, sondern auch immer verstehen, was dahintersteckt.
  ─   cauchy 31.05.2022 um 16:52

Nochmal ganz klar gesagt: Wenn Du stumpf die Regel anwendest, wird es nicht falsch, sondern richtig. Prüfe es selbst nochmal nach (s. oberste Antwort von cauchy). Die Regel gilt also immer(!) und liefert nie falsche Ergebnisse. Man kann natürlich (wie so oft) diskutieren, ob es schnellere Wege gibt als die Anwendung dieser Regel (auch das steht in der obersten Antwort von cauchy).   ─   mikn 31.05.2022 um 20:58

Ist zwar nicht meine Frage aber könnte bitte Jemand nochmal betonen was genau nun falsch war an seinem eingänglichen Rechenversuch?

Wenn ich f(x)=2*x^(1/2) setze,
dann ist ja
f'(x)
=2*(1/2)*x^(-1/2)
=x^(-1/2)
Und wenn ich nun in f'(x)/f(x) die 2 Terme einsetze, kommt doch genau das raus, was oben im Integral steht, oder?
Dann müsste laut Regel doch ln|2*x^(-1/2)|+c rauskommen, oder?
Oder was war daran falsch?

Wobei natürlich, wenn man wie von euch genannt das anders "zuordnet", dann kommt ln|x^(-1/2)|+c raus.
Also was war eigentlich falsch dran?
  ─   densch 31.05.2022 um 21:40

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@densch: Lies doch nochmal genau. Wo haben wir gesagt, dass irgendwas falsch ist? In meinem Kommentar hab ich es auch nochmal klar gesagt. War das nicht klar genug?   ─   mikn 31.05.2022 um 21:48

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@densch: Wende das Logarithmusgesetz an und deine Integrationskonstante ändert sich entsprechend.   ─   cauchy 01.06.2022 um 00:34

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