Direkte Summe von Vektorräume

Aufrufe: 810     Aktiv: 13.05.2020 um 10:33
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Guten Tag, ich habe hier eine Aufgabe von der ich absolut keinen Plan habe wie man vorgehen muss geschweige denn, wie man auf das Ergebnis kommt. Weiß jemand, wie man die Aufgabe lösen soll?

Seien \(V\) und \(W\) Vektorräume über \(\mathbb{K}\) mit \(\dim(V)=n\) und \(\dim(W)=m\). Das cartesische Produkt \(V \times W\) wird durch die Verknüpfungen

\((v_1,w_1) + (v_2,w_2) := (v_1+v_2,w_1+w_2), ~~ \lambda \cdot (v,w)=(\lambda v,\lambda w)\)

ebenfalls zu einem \(\mathbb{K}\)-Vektorraum, der die direkte Summe \(V \oplus W \) heißt.

Zeigen Sie, dass \(\dim(V \oplus W) = n + m \) gilt.

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du kannst die überlegen, dass du dir aus gegebenen basen v_1, .., v_n von V und w_1, .., w_m von W eine basis von V+W bauen kannst (dann musst du natürlich nur noch zeigen, dass das auch wirklich eine basis von V+W ist)

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Wie genau mache ich das? Ich weiß, dass ich jedes \(v \in V\) als Linearkombination aus der Basis von \(V\) bilden kann und jedes \(w \in W \) als Linearkombination aus der Basis von \(W\) bilden kann. Wenn ich dann das cartesische Produkt, das ja immer die Form \((v,w)\) hat, bilden möchte, ist es irgendwie logisch, dass ich dazu alle Basen von \(v\) und \(w\) benötige, aber wie bekommt man die beiden Basen zusammen? Weil so wie ich das jetzt verstanden habe, bringt mich die Basis von \(V\) ja nur zu \(v\) und die Basis von \(W\) zu \(w\) und beides zusammen ergibt ja dann das cartesische Produkt \((v,w)\). Darf man die Basen dann addieren um direkt auf \((v,w)\) zu kommen? Bzw. wie sieht die gemeinsame Basis aus?   ─   tobi1107 12.05.2020 um 14:30
die vektoren (v_1,0), .. ,(v_n,0), (0,w_1), .. , (0,w_m) sind ja alle in V+W - die direkte summe V+W bildet quasi die kanonischste art, zwei vektorräume V und W miteinander zu "verschmelzen" und genauso musst du V+W auch immer betrachten. solche konstruktionsbeweise dazu laufen immer über kanonische bauweisen ab   ─   b_schaub 12.05.2020 um 15:01
Ich bin mir zwar nicht sicher, ob es richtig ist, hab aber zumindest mal einen halbwegs plausiblen Beweis auf die Reihe bekommen, mit dem Ansatz, den du vorgeschlagen hast. Danke dir!   ─   tobi1107 12.05.2020 um 17:43
dein beweis müsste am ende etwa so aussehen:

-die angegebenen vektoren sind lin unabh weil ja v_1, .., v_n bzw w_1, .., w_m lin unabh sind (weils basen sind)

-sei jetzt (v,w) in V+W, dann kann man eine lin komb von (v_1,0), .. ,(v_n,0) finden, die (v,0) ergibt und man kann eine lin komb von (0,w_1), .. , (0,w_m) finden, die (0,w) ergibt, also ergibt die summe (v,w), also spannen die vektoren den ganzen raum auf

die beiden sachen reichen schon dafür, dass (v_1,0), .. ,(v_n,0), (0,w_1), .. , (0,w_m) eine basis sein muss

wenns so in etwa aussieht sollte es richtig sein, geht natürlich sicher auch anders. wenn du was ganz anderes hast und dir unsicher bist, kannst du das auch gerne hier drunter schreiben, dann würd ichs mir angucken :)   ─   b_schaub 12.05.2020 um 17:52
Ich habe es im Prinzip auch so gemacht (hatte noch einen kleinen Denkfehler bei einem Schritt), aber jetzt sollte es passen. Dankeschön :)   ─   tobi1107 13.05.2020 um 10:33

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