Quotient Kriterium und 1/unendlich bei Reihen

Aufrufe: 876     Aktiv: 11.04.2021 um 20:08
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Hallo! Ich soll den Grenzwert von dieser Reihe bestimmen wobei n gegen unendlich geht.

 \(   \sum_{k=1}^{\infty} \frac {k(k-1)} {k!} \) 

Ich hab das Quotientkriterium hier angewendet.Also hab ich ein Doppelbruch gemacht wo der erste bruch  bei k uberall  + 1 hab und im zweiten bruch habe ich nur an abgeschrieben.Ich kann das leider nicht in LaTeX zeigen,es geht einfach nicht.Ich hab dann das doppebruch aufgelost und habe das bekommen.

\( \frac{(k+1)*k*k!}{(k+1)!*k(k-1)} \) Dann habe ich das (k+1)! umgeschrieben als (k+1) * k! und gekurzt.

\( \frac{(k+1)*k*k!}{(k+1)*k!*k(k-1)} \) Man kann das k!,k und (k+1) kurzen

Also bleibt  \( \frac{1}{(k-1)} \) Hier jetzt k gegen unedlich lassen bekomme ich

\( \frac{1}{\infty} \) das sollte 0 ergeben,also konvergiert diese reihe.Also was mich jetzt hier interessiert ist ob man das 1/unendlich wie beim folgen betrachtet,als eine 0? Oder darf man das bei reihen nicht.Und wenn eine reihe konvergiert,also wenn ihre Folge eine Nullfolge ist wie hier,bedeutet das das diese reihe gegen 0 konvergiert oder einfach nur konvergiert? Weil es steht "bestimmen sie den grenzwert" is hier der grenzwert dann die 0?
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Mit dem Quotientenkriterium kannst du nur überprüfen, ob die Reihe konvergiert oder nicht, aber keinen Grenzwert, daher heißt es auch nur Kriterium. Generell geht das hier aber viel einfacher. Zuerst kannst du einen Indexshift machen. Jetzt kannst du die Reihe in eine dir bekannte, sehr wesentliche Reihe, umformen.
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Uff,okay mit Indexverschiebung kenn ich mich nicht aus.Ein guter hinweis were nach welche Reihe soll ich umformen.   ─   arhzz1 11.04.2021 um 18:53
Du kannst das ganze in die Exponentialreihe umformen   ─   mathejean 11.04.2021 um 19:06

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Hallo

Ein Tipp von mir bezüglich der Indexverschiebung. Die meisten wichtigen unendlichen Summen beginnen mit dem Index 1 oder 0 (natürlich nicht immer so aber man kanns ja mal versuchen). Das heisst du müsstest dann deinen Index \(k\) nicht von 1 beginnen sondern von 0. 
Das würde z.B. so aussehen für eine beliebige Summe 
\(\sum_{k=1}^\infty \frac{k+1}{k^2}= \sum_{k=0}^\infty \frac{k+2}{(k+1)^2}\)

Wie du siehst musst du bei einer Indexverschiebung jeweils auch den Term über den du summieren möchtest ein wenig verändern so dass schlussendlich das gleiche herauskommt.


Wenn du nicht weiterkommst stell doch einfach deine Rechnung kurz hoch und wir helfen dir weiter

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Also index um 1 nach unten "verschieben" \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac {k+1(k-1+1)} {(k+1)!} \) Jeztz halt kurzen. \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac {k+1 * k} {(k+1) * k!} \) Sollte nur k/k! bleiben.   ─   arhzz1 11.04.2021 um 19:09
nicht ganz, sorry habe etwas übersehen, also deine Umformung ist korrekt, bis auf das du die Klammer im Zähler vergessen hast, es müsste \((k+1)\cdot k\) sein, jedoch bringt sie uns nicht offensichtlich ans Ziel.
Mit offensichtlich meine ich dass das wahrscheinlich nicht die Definition der Eulerschen Zahl ist die ihr hattet, also versuche ich es anders umzuformen.

Dafür ein Trick im vorab ist, dass es manchmal hilft die ersten Glieder der Summe explizit auszurechnen. Das heisst

\(\sum_{k=1}^\infty \frac{k(k-1)}{k!}\) hat als erste Glieder \(\frac{0}{1}+\frac{2}{2}+...=0+\frac{2}{2}\)
Das ist wirklich nur für die Überlegungen, denn nun merkst du dass das erste Glied 0 ist, daraus folgt:
\(\sum_{k=1}^\infty \frac{k(k-1)}{k!}=\sum_{k=2}^\infty \frac{k(k-1)}{k!}\)

Wenn du nun die Indexverschiebung auf 0 machst, so erhältst du

\(\sum_{k=2}^\infty \frac{k(k-1)}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(k+2)(k+1)}{(k+2)!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(k+1)}{(k+1)!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\)

Und nun weisst du dass per Definition gilt \(e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\)

Das heisst \(\sum_{k=1}^\infty \frac{k(k-1)}{k!}=e\)   ─   karate 11.04.2021 um 19:53
Ok perfekt danke!   ─   arhzz1 11.04.2021 um 20:07
kein problem
   ─   karate 11.04.2021 um 20:08

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