Konvergenz der harmonischen folge

Aufrufe: 619     Aktiv: 23.09.2020 um 22:53
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Wieso konvergiert diese folge gegen

1/2 

 

an=1/n^2  +  2/n^2  +  3/n^2 ....+ n/n^2

 

meine idee war: n/n^2 mit 1/n erweitern und kürzen dann geht es gegen null somit eine Nullfolge.

 

die Lösung sagt aber:

1/n^2(1+2+3+...+n) = 1/2 + 1/2n

 

was ist mein Fehler. 
evtl. n/n^2 die problematik mit unendlich durch unendlich?

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Es gilt \(\sum\limits_{i=1}^n i =\frac{n(n+1)}2\) und deine Folge lautet ja \(a_n=\frac1{n^2}\sum\limits_{i=1}^n i\). Damit kommst du leicht auf die Darstellung unten.

Dein Fehler ist wohl, dass du die Summanden einzeln betrachtet hast. Jeder einzelne ist, für sich alleine, eine Nullfolge. Hier in a_n aber wird summiert. Je größer n, desto mehr Summanden, das hast du nicht berücksichtigt. 

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Ja das war wohl der Fehler. Aber wieso muss ich summieren, ich betrachte ja die Folge und nicht die Reihe.
  ─   anonym4d9d4 23.09.2020 um 22:49

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