Extremwert Aufgabe aus Abstand dreidimensionaler Geraden

Erste Frage Aufrufe: 41     Aktiv: 18.02.2021 um 22:52

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Wenn es um den geringsten Abstand von zwei jeweils windschiefen Geraden im dreidimensionalen Raum geht, wie erstellt man daraus eine Extremwert-Aufgabe? Ich kann ja nicht einfach die erste Ableitung der Differenz der beiden Geraden nehmen. Dafür gäbe es ja auch zu viele Variablen.
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Ich verstehe deine Frage nicht ganz. Möchtest du den Abstand zweier windschiefer Geraden bestimmen? Das geht einfacher ohne Analysis. Oder möchtest du eine Optimierungsaufgabe, die etwas mit windschiefen Geraden zu tun hat?   ─   stal 17.02.2021 um 12:41

Ich würde gerne den geringsten Abstand zweier windschiefer Geraden mithilfe einer Extremwertaufgabe lösen.   ─   anonym 18.02.2021 um 21:49

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1 Antwort
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Warum auch immer du das tust möchtest, es gibt Wege, die einfacher sind. 

1. Wähle von beiden Geraden jeweils einen Punkt in Abhängig der Parameter der Geraden. Also zum Beispiel \(A(t|2|1-t)\). Das kann man einfach machen, indem man die Parametergleichung als einen Vektor zusammenfasst. 
2. Berechne dann den Verbindungsvektor zwischen diesen beiden Punkten. 
3. Berechne die Länge des Verbindungsvektors. 
4. Minimiere dann den in 3. von zwei Parametern abhängigen Ausdruck. 

Das Problem an dieser Stelle ist, dass du ein Minimierungsproblem mit zwei Unbekannten bekommst, weil es keine Nebenbedingung gibt, du hier auch nicht brauchst. Dieser Weg ist also vergleichweise kompliziert. 

Alternativen: Berechne den Abstand mit einer Hilfsebene. Das heißt, eine Gerade liegt in einer Ebene. Dann hast du ein Abstandsproblem Gerade-Ebene, was man auf Punkt-Ebene zurückführen kann und mit dem Lotfußpunktverfahren lösen kann. 

Berechne wie oben den Verbindungsvektor und nutze aus, dass dieser orthogonal auf den Richtungsvektoren der Gerade steht. Dadurch bekommst du ein LGS, womit du die beiden unbekannten Parameter berechnen kannst. Durch diesen Schritt erübrigt sich dann aber die Minimierung der Länge, weil man die Parameter bereits bestimmt hat.
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Okay vielen Dank!
Das Verfahren mithilfe einer Hilfsebene und dem hessischen Normalverfahren hatten wir im Unterricht.
Dennoch hat es mich interessiert, wie man daraus eine Extremwertaufgabe macht.
Mein Ansatz war, den Betrag der Differenz der beiden Geraden zu nehmen.
Diesen einmal für die erste variable und dann für die zweite variable abzuleiten und dann gleich null bzw. gleichzusetzen und die variablen mithilfe eines LGS zu lösen.
  ─   anonym 18.02.2021 um 22:52

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