Die Aufgabe ist schon klar, aber Du hast nicht gesagt, was Dein Problem ist.
Grundsätzliches Vorgehen bei vielen Aufgaben:
Aufschlüsseln: Gegeben: ... Gesucht: ...
Nenne dazu den unbekannten Berührpunkt $(x_0,y_0)$. Mach das, schau was Du hast und teile dann Deine Gedanken dazu mit.

Diese Aufgabe ist für Fortgeschrittene. Denn den Berührpunkt, nennen wir ihn \(B(x_0/y_0)\), kennst Du nicht.
Drum sind \(x_0\) und \(y_0\) Unbekannte.
Die gesuchte Parabel p setze ich an als \(p(x)=ax^2+bx+c\). Somit hast Du fünf Unbekannte: \(x_0,y_0,a,b,c\).
Also brauchst Du 5 Gleichungen.

Im Folgenden beziehe ich mich auf Teilaufgabe a).

Zunächst geht die Parabel durch P und Q. Das liefert folgende zwei Gleichungen:
\(p(-5)=-4\)                (1)
\(p(7.5)=258.5\)            (2)

Dann geht die Parabel durch den Berührpunkt. Das liefert die Gleichung:
\(p(x_0)=y_0\)            (3)

Dann berührt die Parabel den Berührpunkt B. "Berühren" heißt: Auch die Ableitungen müssen gleich sein. Also:
\(p'(x_0)=g'(x_0) \)            (4)

Und dann weiß man, dass auch die Gerade durch den Berührpunkt geht:
\(y_0 = g(x_0)\)           (5)

So, die 5 Gleichungen hätten wir. Setzt man (3) und (5) gleich, so hat man \(y_0\) eliminiert, und man erhält:
\(p(x_0)=g(x_0)\)          (6)

Jetzt musst Du "nur" noch 4 Gleichungen (1), (2), (4), (6) nach den 4 Unbekannten \(a,b,c,x_0\) auflösen. Ist nicht ganz einfach. Solltest Du hier auf Granit stoßen, bitte nochmal melden.