Im Allgemeinen berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses indem du das Verhältniss bildest
\(\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse die zum Ereigniss führen} }{\text{Totale Anzahl der Ergebnisse}}\)
was auch intuitiv Sinn machen dürfte, wenn in \(x\) von \(y\) Fällen etwas eintritt, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens \(\frac{x}{y}\).

Am Beispiel \((b)\): Es sei \(X\) die Zufallsgrösse welche den Gewinn beschreibt. Es gilt

• \(X=8\): Bei Pasch
• \(X=-2\) : Sonst

Ist \((x,y)\) ein Ergebniss des Würfelwurfes, wobei \(x\) der Wert des ersten und \(y\) der Wert des zweiten Würfels ist. Pasch haben wir in den Fällen \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\)

• \(Pr((1,1)) = \frac{3}{6} * \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\) (\(3\) von \(6\) Flächen beim ersten Wüfel sind eine eins, \(1\) von \(6\) beim zweiten)
• \(Pr((2,2)) = \frac{1}{6} * \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\) (Beide Wüfel haben nur eine \(2\))
• \(Pr((3,3)) = 0\) (Keine \(3\) im ersten Würfel also unmöglich)
• \(Pr((4,4)) = 0\) (Keine \(4\) im ersten Würfel also unmöglich)
• \(Pr((5,5)) = 0\) (Keine \(5\) im ersten Würfel also unmöglich)
• \(Pr((6,6)) = \frac{2}{6} * \frac{1}{6} = \frac{1}{18}\) (\(2\) von \(6\) Flächen beim ersten Wüfel sind eine sechs, \(1\) von \(6\) beim zweiten)

Wir haben also
\(Pr(X=8) = Pr("Pasch") = \frac{1}{12} + \frac{1}{36} + \frac{1}{18} = \frac{1}{6}\)
und
\(Pr(X=-2) = Pr("kein Pasch") = 1- \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)

Damit gilt dann für den Erwartungswert
\(E[X] = \frac{1}{6} * 8 + \frac{5}{6} * (-2) = \frac{-2}{6}\)

Das Spiel ist also nicht fair