Zunächst würde ich zum besseren Verständnis einige Punkte bezeichnen. Den Mittelpunkt des Kreises bezeichne ich mit $M$. Der Punkt rechts von $M$ der die Kreislinie berührt bezeichne ich mit $A$. Der Punkt an dem der gegebene Winkel mit $40^{\circ}$ anliegt bezeichne ich mit $B$. Den Punkt links von $B$ der die Kreislinie berührt bezeichne ich mit $C$. Und der Schnittpunkt an dem der Winkel $\alpha$ anliegt bezeichne ich mit $S$.

(1) Zeichne zuerst eine Hilfsline von $M$ zu $C$. Man betrachte dann das Dreieck $\triangle MBC$, welches gleichschenklig ist, da die Strecken $\overline{MB}$ und $\overline{MC}$ gleich sind denn beide sind der Radius des Kreises. Damit ist klar, dass auch die Basiswinkel gleich sind also $\angle BCM =\angle MBC=40^{\circ}$. Mit der Innenwinkelsumme von $180^{\circ}$ ist klar wie groß der Winkel $\angle CMB$ sein muss. 

(2) Mit Hilfe der Wechselwinkelbeziehung kannst du von deinem gegeben Winkel auf den Winkel $\angle BMA$ schließen. Damit erhälst du automatisch (zusammen mit $\angle CMB$) den Winkel $\angle CMA$ des Dreiecks $\triangle MAC$. 

(3) Betrachtet man nun weiterhin das Dreieck $\triangle CMA$ genauer, fällt auf, dass auch dieses gleichschenklig ist mit der gleichen Begründung wie in (1). Damit kannst du nun mit Hilfe der Innenwinkelsumme auf die Größe der Winkel $\angle MAC$ und $\angle ACM$ schließen, da du $\angle CMA$ kennst.

(4) Schlussendlich betrachtest du das Dreieck $\triangle MSC$, womit du nun mit Hilfe der Innenwinkelsumme auf dein gesuchtes $\alpha$ kommst.

Es gibt sicherlich noch einen anderen Weg, aber rechne die Winkel erstmal dementsprechend aus und schau ob du damit auf das richtige Ergebnis kommst.

von verschiedenen Lagebeziehungen zweier Winkel - Scheitel-, Neben-, Stufen-, Wechselwinkel hast du aber schon mal gehört, oder? Schau mal in die Unterlagen, was hier passt.