Wie kann ich in diesen Fällen die geometrische Summe ausrechnen?

Erste Frage Aufrufe: 261     Aktiv: 06.06.2023 um 00:18

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Ich komm nicht drauf, wie man das K im Zähler behandelt in diesen Fällen.
Freue mich über die Antworten.
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Student, Punkte: 10

 

Das ist keine geometrische Reihe. Wie lautet die Aufgabe, im Original?   ─   mikn 05.06.2023 um 18:24

Untersuchen Sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie deren Grenzwert   ─   kasimir 05.06.2023 um 18:33
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Ich meine mich dunkel zu erinnern, dass nach dieser Reihe hier schonmal gefragt wurde und es sich als ein Druckfehler rausstellte.
Verdächtig daran ist der Faktor 5 (math. uninteressant) und dass das unter der Überschrift "geom. Reihe" läuft (hier spekuliere ich, daher die Frage nach der kompletten Aufgabe im Original).
Tatsache ist, dass die Berechnung des Grenzwertes der Reihe so, wie sie hier steht, alles andere als trivial ist (heißt auch: ich wüsste nicht wie das gehen sollte).
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.35K

 

Habe auch $5^k$ gelesen und (falsch) geantwortet. Wolfram Alpha (https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+5k%2F3%5Ek%2C+k%3D0+to+infinity) gibt eine geschlossene Form für Partialsummen an, die man vielleicht induktiv zeigen kann. Aber es hat glaube ich(?) erstmal nix mit geoemtrischer Reihe zu tun.   ─   crystalmath 05.06.2023 um 21:49

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Für den Fall, dass es kein Tippfehler ist: 
Die Reihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k}{n^k}$ konvergiert für $|n|>1$ gegen $\frac{n}{(n-1)^2}$. Beweisidee: Die Reihe lässt sich umschreiben zu $$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{\infty}k\left(\frac{1}{n}\right)^{k-1}.$$ Mittels Substitution $x=\frac{1}{n}$ erhält man dann in der Summe den Ausdruck $kx^{k-1}=\frac{d}{dx}x^k$. Dann kann man Differentiation und Summe vertauschen und die geometrische Reihe anwenden.
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