Ein einfaches und bekanntes Beispiel kommt aus der speziellen Relativitätstheorie.
Bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit \( v\) relativ zu seinem Bezugssystem, so hat dieser die Energie
\( E=mc^2=\gamma m_0c^2 \) wobei \(\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \) Zur Vereinfachung setzen wir \( \beta =\frac{v^2}{c^2} \)
Da grundsätzlich nichts schneller als die Lichtgeschwindigkeit ist gilt \( v<c\) und damit \( \frac{v}{c} < 1 \) und daraus logischerweise auch \( \frac{v^2}{c^2}=\beta < 1\)
D.h. wir können \( \frac{1}{\sqrt{1-\beta}} \) in eine Taylorreihe (um \( \beta_0 = 0\)) entwickeln und erhalten.
\( E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta}}=m_0c^2(1+\frac{\beta}{2}+\frac{3\beta^2}{8}+...)\)
\( =m_0c^2 +\frac{1}{2}m_0c^2\frac{v^2}{c^2}+m_0c^2\frac{3\beta^2}{8}+...)\) (zufaul letzten Term auszurechnen/umzuschreiben)
\(=m_0c^2 +\frac{1}{2}m_0v^2+m_0c^2\frac{3\beta^2}{8}+...)\)
Interessant sind hier die ersten zwei Terme. \( E=m_0c^2\) stellt die sogenannte Ruheenergie da, die jeder massebehafteter Körper trägt, unabhängig von seiner Bewegung. Und der zweite Term stellt die altbekannte kinetische Energie dar. Alles andere sind Korrekturterme höherer Ordnung.
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