Extrema Aufgabe mittels Lagrange

Aufrufe: 472     Aktiv: 11.10.2022 um 14:54

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Hallo zusammen,

ich sitze gerade an einer Extremstellen Aufgabe was ich mittels Lagrange versuche zu lösen.

Bestimmen Sie die Extremstellen und Extremwerte von f(x,y)=x²+y² mit Nebenbedingung 3x²+4xy+3y²=1

Zuerst wollte ich die normale Vorhergehensweise mit Lx, Ly und Lλ machen. Was auch gut funktioniert hat. Bis ich folgendes rausbekommen habe.

Lx=2x+6xλ+4yλ
Ly=2y+4xλ+6yλ
L
λ=3x²+4xy+3y²-1
Wenn ich jetzt auflösen will muss ich ja Lx und Ly voneinander abziehen. Bei uns ist das zwar noch nie vorgekommen, aber darf ma da schon 2 Rechenschritte machen? zB. 3*I-2*II um zuerst das Lambda y wegzubekommen, wie gehe ich dann mit dem x Lambda vor?

Dann hab ich mich sowieso für die Determinantenmethode entschieden und somit gleich die Lösung 8x²-8y²=0 bekommen.

Jetzt bin ich aber wieder verwirrt, da wenn ich umstelle ja das gleiche rauskommt. Sprich x=y. Wie soll das mit dem einsetzten funktionieren?

Danke schon mal für eure Hilfe :)

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Versuch mal so: \(L_x= 2x+\lambda (6x+4y) =0 \text { und } L_y=2y+ \lambda (4x +6y) =0 \Rightarrow L_x-L_y=2x-2y + \lambda (2x -2y) =0\)
Dann Fallunterscheidung
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stimmt, guter Punkt.
Aber wie ich dann auf das Endergebnis komme verwirrt mich ein bisschen. Weil x=y rauskommt.
  ─   anonym984ab 11.10.2022 um 13:22

Das muss ich ja wie üblich einsetzen in die Lambda Gleichung um die möglichen Punkte für die Extremstellen zu bekommen.
Dann müsste eine der 2 Lösungsgleichung lauten: 3x²+4x²+3x²-1=0 aus der folgt x²=1/10. Also sind 2 Lösungen sqrt(+-1/10)
Und das gleiche nochmal für die x=y oder? Stimmt das dann?
  ─   anonym984ab 11.10.2022 um 13:34

https://www.youtube.com/watch?v=ZP1PIVeANOE
Habe ich bei Mathepeter gelernt. Geht etwas schneller als das andere Verfahren und man verrechnet sich nicht so schnell. Ich habe 8(x²-y²)=0 rausbekommen. Wenn man das aufsplittet kommt man zum schluss zum Ergebnis x=y was ja dasselbe ist wie von scotchwhisky schon gesagt. Oder verstehe ich da was falsch?
In der Lösung die ich rausbekomme kommen 2 mal die gleichen Punkte raus. Jeweils (+-sqrt(1/10),-+sqrt(1/10)) Damit müsste ich die Aufgabe gelöst haben oder?
Natürlich noch einsetzen für die Werte.
  ─   anonym984ab 11.10.2022 um 13:55

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