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Hi, und zwar muss ich die Aufgabe b) machen. Aber wie mache ich das am einfachsten? Ich weiß, dass das Skalarprodukt=0 sein muss. Aber geht das nur durch ausprobieren? Kann ich mir eigentlich nicht vorstellen
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Die Ebene ist als Hesseform gegeben. Da kannst du den zur Ebene senkrechte Vektor direkt ablesen. \( \vec n = (1 | 2 | -4 )\)
Skalarprodukt von \( \vec n \)  mit  Richtungsvektor der Geraden bilden. Wenn =0 dann stehen die beiden senkrecht aufeinander.
Somit sind dann Gerade und Ebene parallel. Du musst noch prüfen , ob die Gerade in der Ebene liegt oder nicht.(Punktprobe)
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Ja. Das weiß ich. Allerdings benötige ich für gerade gerade ein Skalarprodukt 0 und ebene gerade auch. Aber bei mir passt z.b. immer nur gerade gerade mit Skalarprodukt 0 wenn ich es dann in die andere einsetze, dann kommt aber nicht 0 raus   ─   tijuri 13.07.2021 um 16:01

Der Richtungsvektor von h muss senkrecht sein zum Richtungsvektor von g und zur Senkrechten der Ebene, d.h die jewiligen Skalarprodukte müssen =0 sein. Ansatz mit Richtungsvektor \((a,b,c)\)., Skalarprodukte bilden und daraus eine Lösung für (a,b,c) berechnen.
Aber dad wusstest du bestimmz schon.
  ─   scotchwhisky 13.07.2021 um 17:05

Wenn dir das Kreuzprodukt wss sagt, kannst du auch das benutzen.Aber das wusstest du bestimmt schon.   ─   scotchwhisky 13.07.2021 um 17:10

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Um zu zeigen, dass $g$ und $E$ parallel sind, geht es hier am schnellsten, die Gerade in die Ebene einzusetzen. Wenn sich dabei ein Widerspruch ergibt, gibt es keine gemeinsamen Punkte. Dann ist die Behauptung gezeigt (also $x_1=2+2t$, $x_2=t$ und $x_3=2+t$.
(wenn es für $t$ eine Lösung gibt, dann kann mit dem gefundenen $t$ der Schnittpunkt bestimmt werden; wenn $t$ rausfällt, liegt $g$ in $E$, weil keine Bedingung an $t$ gestellt wird)
Das geht ohne Skalarprodukt.

Im zweiten Teil brauchst Du einen Richtungsvektor $\vec{r_h}$ von $h$, der sowohl senkrecht auf dem Richtungsvektor $r_g= \left(\begin{array}{c}2\\1\\1\end{array}\right)$ von $g$ als auch senkrecht auf dem Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\-4\end{array}\right)$ steht.
Aus diesen beiden Bedingungen (mit dem Skalarprodukt) kannst Du ein LGS erstellen, um einen möglichen Vektor $\vec{r_h}$ zu ermitteln. Es gibt unendlich viele Lösungen (2 Gleichungen für 3 Unbekannte), weil der Richtungsvektor ja beliebig lang sein kann. Daher muss man eine der drei Koordinaten wählen und dann die anderen beiden mit dem LGS bestimmen.
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