Die Ebene ist als Hesseform gegeben. Da kannst du den zur Ebene senkrechte Vektor direkt ablesen. \( \vec n = (1 | 2 | -4 )\)
Skalarprodukt von \( \vec n \)  mit  Richtungsvektor der Geraden bilden. Wenn =0 dann stehen die beiden senkrecht aufeinander.
Somit sind dann Gerade und Ebene parallel. Du musst noch prüfen , ob die Gerade in der Ebene liegt oder nicht.(Punktprobe)

Um zu zeigen, dass $g$ und $E$ parallel sind, geht es hier am schnellsten, die Gerade in die Ebene einzusetzen. Wenn sich dabei ein Widerspruch ergibt, gibt es keine gemeinsamen Punkte. Dann ist die Behauptung gezeigt (also $x_1=2+2t$, $x_2=t$ und $x_3=2+t$.
(wenn es für $t$ eine Lösung gibt, dann kann mit dem gefundenen $t$ der Schnittpunkt bestimmt werden; wenn $t$ rausfällt, liegt $g$ in $E$, weil keine Bedingung an $t$ gestellt wird)
Das geht ohne Skalarprodukt.

Im zweiten Teil brauchst Du einen Richtungsvektor $\vec{r_h}$ von $h$, der sowohl senkrecht auf dem Richtungsvektor $r_g= \left(\begin{array}{c}2\\1\\1\end{array}\right)$ von $g$ als auch senkrecht auf dem Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\-4\end{array}\right)$ steht.
Aus diesen beiden Bedingungen (mit dem Skalarprodukt) kannst Du ein LGS erstellen, um einen möglichen Vektor $\vec{r_h}$ zu ermitteln. Es gibt unendlich viele Lösungen (2 Gleichungen für 3 Unbekannte), weil der Richtungsvektor ja beliebig lang sein kann. Daher muss man eine der drei Koordinaten wählen und dann die anderen beiden mit dem LGS bestimmen.