Question

Geometrischen Ort, Quadrik Normalform umformen, komplexe Gleichung

Erste Frage Aufrufe: 146 Aktiv: 09.03.2022 um 12:59

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Hallo, wir haben folgende Aufgabe bekommen, ich komme beim Umformen nicht weiter.

Aufgabe:

Skizzieren Sie die Punktmenge die der folgenden Ungleichung entspricht:
|z+2|+|z-2|=6

z ist etwas in der Form:
z=a+ib mit i als imaginäre Zahl

Am Ende soll dann rauskommen:
(a^2)/9 + (b^2)/5 =1

Bisherige Überlegungen:
~ |z-2| auf die andere Seite bringen
~ z durch a+ib ersetzen
~ die Beträge durch wurzelziehen und anschließendes quadrieren auflösen

Dann bekomme ich folgendes Ergebnis:
(a + 2)^2 + b^2 = 36 + (a - 2)^2 + b^2 - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2)

Hier komme ich nicht weiter
Mein Ansatz war zunächst die die Wurzel durch quadrieren wegzubekommen, dann die Klammern mit den bin.Formeln aufzulösen um dann mit einer Quadrik auf die Ellipsengleichung zu kommen.
Das hat aber leider nicht so gut funktioniert...

Ich denke, dass mein Ansatz falsch ist, oder es zumindest einen einfacheren Weg gibt, also ich etwas übersehen habe.

Vielen Dank für eure Zeit und Hilfe.

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gefragt 05.03.2022 um 09:59

mathe4.0
Student, Punkte: 17

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1 Antwort

mikn · Accepted Answer · 2022-03-05T16:00:20Z

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Dein Vorgehen ist genau richtig, aber dann:
Dass Du an der angegebenen Gleichung nicht weiterkommst, fällt mir schwer zu glauben. Schau mal genau hin. Erstmal das offensichtliche, dann vereinfachen. Danach dann, wie Du schon vermutest, nochmal quadrieren, um die letzte Wurzel wegzukriegen. Dabei schön binomische Formeln benutzen, auch die dritte (ohne geht natürlich auch).

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geantwortet 05.03.2022 um 16:00

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 24.02K

Dankeschön, ich habe bei meinen ersten Lösungsversuchen stumpf alles auf eine Seite gebracht und dann quadriert, dadurch kamen dann entsprechend unhandliche Terme raus, dass man die Terme vorher noch vereinfachen kann hab ich also übersehen, naja ich denke das unten sollte jetzt soweit stimmen, gibt es noch Tipps, kann man das ganze evtl. schneller oder einfacher lösen?
Vielen Dank

(a + 2)^2 + b^2 = 36 + (a - 2)^2 + b^2 - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2) |-b^2
(a + 2)^2 = 36 + (a - 2)^2 - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2) |-(a-2)^2
(a + 2)^2 - (a - 2)^2= 36 - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2) | T (vereinfachen)

Zwischenrechnung
(x+y)^2 - (x-y)^2 = x^2 + 2xy +y^2 - (x^2 -2xy +y^2) | bin. Formel |- Klammer auflösen |T
=> (x+y)^2 - (x-y)^2 = 2*(2xy)

8a= 36 - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2) | -36
8a -36 = - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2) |:(-12)
-(2/3)*a+3=sqrt((a - 2)^2 + b^2) |T
3-(2/3)*a=sqrt((a - 2)^2 + b^2) | ( )^2 links mit bin Formel
9-4a+(4/9)*a^2=(a - 2)^2 + b^2 |T
(4/9)*a^2 - 4a +9 = (a - 2)^2 + b^2 | rechte Seite bin. Formel
(4/9)*a^2 - 4a +9 = a^2 -4a +4 +b^2 |+ 4a
(4/9)*a^2 +9 = a^2 + 4 +b^2 |-4
(4/9)*a^2 +5 = a^2 +b^2 |-(4/9)*a^2
5=(5*a^2)/9 + b^2 |:5
1=(a^2)/9 + (b^2)/5

Dankeschön, ich habe bei meinen ersten Lösungsversuchen stumpf alles auf eine Seite gebracht und dann quadriert, dadurch kamen dann entsprechend unhandliche Terme raus, dass man die Terme vorher noch vereinfachen kann hab ich also übersehen, naja ich denke das unten sollte jetzt soweit stimmen, gibt es noch Tipps, kann man das ganze evtl. schneller oder einfacher lösen?  
Vielen Dank

(a + 2)^2 + b^2 = 36 + (a - 2)^2 + b^2 - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2)      |-b^2
(a + 2)^2 = 36 + (a - 2)^2 - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2)                             |-(a-2)^2
(a + 2)^2 - (a - 2)^2= 36  - 12 sqrt((a - 2)^2 + b^2)                              | T (vereinfachen)

Zwischenrechnung
(x+y)^2 - (x-y)^2 = x^2 + 2xy +y^2  -  (x^2 -2xy +y^2)                       | bin. Formel    |- Klammer auflösen   |T
=>  (x+y)^2 - (x-y)^2    =   2*(2xy)

─ mathe4.0 09.03.2022 um 01:47

Alles in Ordnung. Ich glaube nicht, dass es einfacher geht.
Noch zum Aufschreiben: Du kannst Deine schriftlichen Rechnungen auch als Foto posten, das geht einfacher. ─ mikn 09.03.2022 um 12:19

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