Die Idee des integrierenden Faktors ist, durch MULTIPLIKATION DER DGL MIT IHM DIESE EXAKT ZU MACHEN. Dabei wird oft zur Vereinfachung der Faktor nur von x oder y abhängig angenommen. es geht ja "nur" darum , einen zu finden. Also z.B. für \(\mu(x)\) müßte gelten für Deine DGL wegen des Satzes von Schwarz (siehe meine Videos zu diesem Thema!), dass die partielle Ableitung von \(\mu(x)((1-2xy) \) nach x gleich der partiellen Ableitung vo \(-mu(x)y/x \) nach y ist. Dies liefert bei mir (nach einigen Umformungen) \( \mu'(x) x + \mu =0\) und einen integrierenden Faktor \(\mu =1/x \). Probier es einmal. Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe, aber wenn man Deine DGL mit 1/x multipliuiert ist sie exakt.