Grenzwertbestimmung mittels Taylorreihen

Aufrufe: 62     Aktiv: 20.05.2021 um 13:18

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Hallo!

Ich soll den Grenzwert  \( \lim\limits_{x\to0} \frac{x*e^x -sin(x)}{1-cos(x)} \) mittels Taylorreihen berechnen.

Wie gehe ich hier vor?

Vielen Dank schonmal.

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Berechne vom Zähler und Nenner jeweils die Taylorreihe. Dazu kannst du verwenden, dass du die Taylorreihen von \(e^x,\sin x,\cos x\) (hoffentlich) schon kennst. So hast du z.B. $$xe^x-\sin x=x\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}x^k-\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}=\ldots$$ Betrachte dann den Quotienten der beiden Taylorreihen, die Grenzwertberechnung geht dann so ähnlich wie bei gebrochen rationalen Funktionen.
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Vielen Dank für die Antwort! Ich hätte als Quotienten jetzt \( \frac{x * \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} * x^{n} - \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}* x^{2n+1}} {1-\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}*x^{2n}} \) .

Kann ich dann einfach ganz "normal" den Grenzwert berechnen oder sollte man hier noch etwas beachten.
  ─   casualkolo 19.05.2021 um 12:11

Vereinfache Zähler und Nenner erst noch. Also fasse die Summen zusammen. Berechne insbesondere die ersten drei Koeffizienten in Zähler und Nenner.   ─   stal 19.05.2021 um 12:17

Hey, sorry wen ich das nochmal aufmache. Ich habe das mal weiter versucht, allerdings scheitere ich an dem Zusammenfassen und Vereinfachen. Im Nenner habe ich die 1 wegbekommen, indem ich das erste Glied der Reihe berechnet habe, aber weiter komme ich dann nicht. Vielleicht könntest du mir da nochmal helfen.   ─   casualkolo 20.05.2021 um 11:11

Ich schreibe mal mit \(\mathcal O\)-Notation: $$\frac{xe^x-\sin x}{1-\cos x}=\frac{x\left(1+x+\mathcal O(x^2)\right)-\left(x+\mathcal O(x^3)\right)}{1-\left(1-\frac12x^2+\mathcal O(x^4)\right)}=\frac{x+x^2+\mathcal O(x^3)-x+\mathcal O(x^3)}{\frac12x^2+\mathcal O(x^4)}=\frac{x^2+\mathcal O(x^3)}{\frac12x^2+\mathcal O(x^4)}=\frac{1+\mathcal O(x^1)}{\frac12+\mathcal O(x^2)}$$ Falls du \(\mathcal O\)-Notation nicht kennst: \(\mathcal O(x^n)\) bedeutet einfach, dass danach nur noch Terme kommen, deren Grad mindestens \(n\) ist. Für \(x\to 0\) verschwindet nun alles, was in \(\mathcal O(1)\) oder \(\mathcal O(x^2)\) liegt, also ist der Grenzwert \(\frac1{\frac12}=2\).   ─   stal 20.05.2021 um 11:30

danke, Wie würde das ohne dieses \(O\) aussehen? Also nur mit den Summen?   ─   casualkolo 20.05.2021 um 12:59

Überleg dir das selber. Verrechne die Summen in Zähler und Nenner, sodass du sie in der Form \(\sum_{k=2}^\infty a_nx^n\) bringst. Etwas informeller kannst du auch statt jedem \(\mathcal O(-)\) in meiner Rechnung Auslassungszeichen ... schreiben. Der Punkt ist ja, dass egal ist, was da noch kommt.   ─   stal 20.05.2021 um 13:18

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