Benötige einen Denkanstoß

Erste Frage Aufrufe: 53     Aktiv: 06.05.2021 um 14:50

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wie komme ich von x²-11+28 auf (x-4)(x-7) ??..... ich steh gerade richtig auf dem schlauch und bring irgendwie alles durcheinander.

Danke schonmal für die Hilfe :)
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Am besten berechnest du die Nullstellen der quadratischen Funktion mittels quadratischer Ergänzung/Mitternachtsformel/pq-Formel. Danach kannst du die Funktion schreiben als \((x-\text{erste Nullstelle})(x-\text{zweite Nullstelle})\).
Alternativ kannst du (nach dem Satz von Vieta) zwei Zahlen \(a,b\) suchen mit \(a+b=11\) und \(ab=28\). Durch ausprobieren mit ganzen Zahlen kann man \(4,7\) finden und damit \((x-4)(x-7)\) hinschreiben.
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Hi... erstmal danke für deine schnelle Antwort allerdings kommt mir das komisch bzw. nicht passend vor. Liegt aber sicher daran dass ich ja nur einen teil der Aufgabe geschrieben habe.
Die Aufgabe lautet: Vereinfachen Sie durch Faktorzerlegung so weit wie möglich.

6ab²x²-66ab²x+168ab²
____________________ / hab erst 6ab² ausgeklammert
12ab²*(x-4)

6ab²(x²-66ab²x+168ab²)
______________________ /dann gekürzt
12ab² * (x-4)

x²-11x+28
___________
2 * (x-4)


und jetzt weiß ich dass aus x²-11x+28 eben (x-4)(x-7) wird aber eben nicht wie also durch die pq-Formel etc? Echt jetzt? also das muss doch einfacher gehen oder nicht?
  ─   user88256a 06.05.2021 um 13:51

Du kannst auch Polynomdivision machen, wenn du das kennst. Aber ansonsten musst du die Nullstellen berechnen, um ein Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen.   ─   stal 06.05.2021 um 13:55

wo liegt eigentlich das Problem? dass man bei einer Rechnung rechnen muss? und sich die eine oder andere nicht durch bloßes Hinsehen lösen lässt? Die üblichen Möglichkeiten (Satz von Vieta, Lösungsformel oder Ratelösung mit anschließender Polynomdivision, aufsteigend aufwändig) wurden bereits genannt, aber wenn man dafür keine Zeit hat, geht es ganz schnell über einen GTR bzw. Lösungsrechner aus dem Internet.   ─   monimust 06.05.2021 um 14:47

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Du solltest Dich dringend mal mit dem Satz von Vieta befassen.

Wenn Du "Satz von Vieta" googelst bekommst Du viele gute Links z.B https://www.mathebibel.de/satz-von-vieta

Auf Youtube findest Du viele gute Videos. Am besten schaust Du, ob Daniel eins zu dem Thema gemacht hat:

https://www.youtube.com/watch?v=lyjpA11mX5k

Wenn Du davon ausgehst, dass die quadratische Gleichung ganzzahlige Lösungen hat, kann man die Lösungen oft sofort "sehen", wenn man ein bisschen das kleine 1x1 kann.

Dein Beispiel \(x^2-11x+28=0\):

Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, dann muss das Produkt der beiden Lösungen 28 sein.

Also kommen diese Produkte in Frage: 1*28=28 2*14=28 4*7=28

Nun musst Du nur noch die Summen der vermuteten Lösungen prüfen:
1+28= 29   unbrauchbar, weill 11 rauskommen soll
2+14= 16   unbrauchbar, weill 11 rauskommen soll
4+7=11       BINGO Die quadratische Gleichung \(x^2-11x+28=0\) hat die beiden Lösungen \(x_{1}=4\) und \(x_{2}=7\)

Damit hast Du auch die Faktorzerlegung des quadratischen Terms \(x^2-11x+28=(x-4)*(x-11)\)

Du kannst natürlich auch die beiden Lösungen mit der p/q-Formel finden und dann die Faktorzerlegung hinschreiben.

\(x^2-11x+28=0\)
\(x_{1,2}=\frac {11+/- \sqrt{121-4*28}}{2}=\frac{11+/-\sqrt{121-112}}{2}=\frac{11+/-\sqrt{9}}{2}=\frac{11+/-3}{2}\)
\(x_{1}=\frac{11+3}{2}=7\)
\(x_{2}=\frac{11-3}{2}=4\)

Wenn Dir die Faktorisierung des quadratischen Terms nicht klar ist, versuch doch mal dies Video:

https://www.youtube.com/watch?v=w1OU8Dl-k-0

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