Zwei Arten der Substitution?

Erste Frage Aufrufe: 393     Aktiv: 12.06.2022 um 22:21
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Hallo, ich habe desöfteren zwei Arten der Substitution gesehen.

Bei der einen wurde der entfernte Teil abgeleitet und dessen Kehrwert dem Integral hinzugefügt.

Bei der anderen Variante hat man die Ersetzung genommen und davon die Ableitung gebildet, also beispielsweise:

Nun möchte ich x substiuieren mit z. b. cos(z)

Die Variante die ich kannte, war, dass ich jetzt statt x einfach cos(z) einsetzen darf. Jedoch muss ich noch x ableiten, was 1 wäre und den Kehrwert anhängen, also einfach 1.

also so:


andernfalls habe ich auch gesehen, dass man statt das entfernte Glied abzuleiten und einzusetzen, man einfach die Ableitung der neuen Komponente multipliziert hat:

Darf man immer beides machen?

Hier im Video wird das auch erwähnt: https://www.youtube.com/watch?v=vtyaO162fa4

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Hast du dich neu angemeldet und die „gleiche“ Frage nochmal gestellt? Siehe hier:
https://www.mathefragen.de/frage/q/66274ed090/substitution-darf-ich-aussuchen-von-was-ich-was-ableite-und-den-kehrwert-einsetze/
Kaum zu glauben das zum selben Ausgangsintegral eine Frage zur selben Problematik gestellt wird in so kurzer Zeit die voneinander unabhängig sein soll.   ─   maqu 12.06.2022 um 19:40
Wie bitte? Also ich schreibe morgen eine Klausur, dort kommt das Thema dran, haben eben bzw. vorher ein Forumanliegen erhalten, dass das Thema doch große Relevanz besitzt und hierbei hat man von zwei Arten der Substitution gesprochen.   ─   thomasneumann 12.06.2022 um 20:05
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2 Antworten
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Nein, man darf nur das zweite machen. (Und unter die Wurzel gehört das $dz$ schonmal gar nicht).
Es geht hier nicht einfach um ableiten, sondern ableiten wonach.
$x=\cos z$, dann muss das Integral mit $dx$ umgeschrieben werden in eines mit $dz$. Dazu merke (auswendig!): $\frac{dx}{dz}$ ist die Ableitung von $x$ nach $z$.
Also hier: $\frac{dx}{dz}= -\sin z$. Umstellen nach $dx$ (Rechnen wie mit einem Bruch) und entsprechend ersetzen (substitutieren!) im Integral liefert das richtige zweite Integral.
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Aber hier wird die erste Variante vollzogen:

https://www.youtube.com/watch?v=0j55gTZVwy0   ─   thomasneumann 12.06.2022 um 20:07
@thomasneumann entschuldige den Verdacht, aber aus der Erfahrung heraus lag dies einfach nahe … wir Helfer erleben hier einiges … da du neu hier bist, du brauchst deine Kommentare nicht löschen … vielleicht lernt jemand anderes einmal noch von deinem Problem, man denkt sonst wir Helfer führen Selbstgespräche, nur so für die Zukunft ;) … und wenn eine Antwort dir geholfen hat, dann kannst du sie abhaken damit wir den Überblick behalten und wissen das es geklärt ist   ─   maqu 12.06.2022 um 22:21

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Du musst beim Substituieren immer auch an das $dx$ denken (und auch an die Grenzen falls es sich um ein bestimmtes Integral handelt). Wenn du $x=\cos(z)$ substituierst, leitest du das was du substituiert hast immer nach der neuen Integrationsvariable ab. Also $\dfrac{dx}{dz}=-\sin(z)$. Dann separierst du die Variablen und ersetzt dein $dx$ in dem Fall durch $-\sin(z) dz$. Dein letztes Bild ist also richtig substituiert. Was du beim ersten Bild gemacht hast weiß ich nicht, so wie es dasteht ist es falsch substituiert. Mal davon abgesehen das die Wurzel nicht über das $dz$ gezogen wird.
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siehe hier, hier wird die erste Variante vollzogen:
https://www.youtube.com/watch?v=0j55gTZVwy0

   ─   thomasneumann 12.06.2022 um 20:06

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