Hat log(1)^(1-i) noch weitere Werte außer 0?

Aufrufe: 114     Aktiv: 11.05.2024 um 21:10

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Hi, ich soll alle Werte von\( \left[\log \left(3+2 i^{2}\right)\right]^{1-i} \) bestimmen.

Zuerst kann ich das ja vereinfachen zu \( \left[\log \left(3-2\right)\right]^{1-i} \) also \( \left[\log \left(1\right)\right]^{1-i} \).

Und das ist doch einfach \(0^{1-i} \) also \(0\).

Da kommen doch keine weiteren Werte durch den komplexen Logartihmus hinzu oder irre ich mich?
Das sieht mir etwas zu einfach aus.

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1 Antwort
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Um alle Werte zu finden, löse die Gleichung $e^{x+i y}=1=e^0$ (mit $x,y\in \mathbb{R}$). Da gibt es schon noch Lösungen.
Was ist mit Deinen vorigen Fragen? Die stehen alle noch ungeklärt herum. Wie man Fragen als "beantwortet" abhakt: siehe e-mail. Ansonsten gerne nochmal nachfragen.
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Ich will hier kurz reingrätschen: Du hast recht, dass die Gleichung $e^z=1$ sehr viele Lösungen hat und nicht nur $z=0$. Allerdings ist die $\mathrm{log}$ Funktion wieder sehr klar, da es sich um den Hauptzweig des Logarithmus in gängiger Notation handelt. Und für den gilt $\mathrm{log}(1)=\ln(1)=0$ und somit ist $0$ der einzige Wert. Die Antwort hängt also von der Wahl des Zweig des Logarithmus, aber die Frage ist hier NICHT nach den Lösungen der Gleichungen mit komplexen Exponenten, für die, wie du angedeutet hast, nämlich $\log(\exp(z))=z+2\pi i k$ gilt.   ─   crystalmath 11.05.2024 um 15:09

@crystalmath Du interpretierst "log" anders als ich in dem Kontext der Aufgabe. Wenn es eine Funktion ist, dann stellt sich natürlich die Frage nach mehreren Werten erst gar nicht.
Und wie die Aufgabe lautet, wissen wir ja nicht. Ich bin immer etwas skeptisch, wenn hier Frager schreiben "ich soll....".
  ─   mikn 11.05.2024 um 15:21

Nein, $\log$ ist per Definition(!) auch im komplexen eine Funktion $\log: \mathbb{C}^* \to \{x+iy \mid - \pi \leq y < y \}$ mit eben abweichenden Zielbereich, je nach Wahl des Zeiges des Logarithmus. Diese Funktion hat die Eigenschaft, dass sie $\exp(\log(z))=z$ erfüllt, aber das ist, wie du festgestellt hast, keine definierende Eigenschaft. Darum sollte es aber nicht gehen: Meine Kritik an deiner Antwort war mehr, dass es nichts mit den Lösungen der Gleichung $e^z=1$ zu tun hat, sondern mit der Wahl des Zweigs des Logarithmus. Sobald du $\log$ hinschreibst, hast du ja bereits einen Zweig gewählt und damit meint man meistens den Hauptzweig^^   ─   crystalmath 11.05.2024 um 15:26

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Sag ich ja, Du interpretierst "log" als den Hauptzweig, und dann gibt es eben keine Mehrdeutigkeit. "Meistens" ist aber nicht zwingend immer. Und wieso "nein"? ich hab nichts anderes als Du gesagt.   ─   mikn 11.05.2024 um 15:34

Ja, aber in dem Moment, wo du $\log$ schreibst, hast du dich für einen Zweig (bewusst oder unbewusst) entschieden und ich fand, dass deine Antwort mit $e^z=1$ verwirrend war, da es nicht um Gleichungen lösen ging und das Stichwort "Zweig des Log" nicht gefallen ist. Das "Meistens" war vorsichtig formuliert, aber in keinem Fall ist $\log$ multi-valued.   ─   crystalmath 11.05.2024 um 15:40

Es geht darum, wofür sich der Frager entscheidet bzw. den uns unbekannten Kontext der Aufgabe. Das lässt sich klären, wenn die Aufgabenstellung vollständig im Original vorliegt. Nach Deiner Interpretation wäre ja die Aufgabenstellung "... alle Werte..." unsinnig bzw. irreführend.   ─   mikn 11.05.2024 um 15:49

Ich stimme dir in dem dem Punkt zu, dass ich glaube, dass die Aufgabenstellung nicht korrekt wiedergegeben wurde. Aber so wie es der Fragy gefragt hat, gibt es nur $1$ Wert und da er sich für die $0$ entschieden hat impliziert, dass er sich für den Hauptzweig entscheiden. Meine Kritik war lediglich, dass deine Antwort sich auf das Lösen von einer Gleichung bezogen hat, was aber erstmal nichts mit der Aufgabe zu tun hat.   ─   crystalmath 11.05.2024 um 15:59

Er hat sich nicht entschieden, sondern fragt(!), ob er mit der alleinigen Wahl der 0 alles richtig gemacht hat. Genauer: Er hat sich entschieden, aber hinterfragt seine Entscheidung. Unabhängig vom log bleibt die Frage nach $0^{...}$, was für komplexe Exponenten nicht definiert ist (je nach Quelle, gibt auch Quellen, die $0^z:=0$ definieren).   ─   mikn 11.05.2024 um 16:06

Das ist korrekt, hier kann man aber durch ein Grenzwertargument zeigen, dass $0$ ein sinnvoller Wert ist, da $\mathrm{Re}(1-i)>0$. Wobei ich kaum glaube, dass das gefragt war.   ─   crystalmath 11.05.2024 um 16:19

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Vielleicht liefert das Fragy ja mal die Originalaufgabe mit? Sonst raten wir hier wieder nur. Sowas wie $\log(3+2i^2)$ erscheint mir schon fehlerhaft. Warum sollte man das so angeben? Ich vermute es geht darum, wie man den komplexen Logarithmus einer komplexen Zahl ermittelt.   ─   maqu 11.05.2024 um 21:10

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