Möbiustrafos und riemannsche Geometrie

Aufrufe: 278     Aktiv: 22.07.2023 um 20:34

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Auf einer Altklausur von mir ist diese Aufgabe:

Ich habe zwar auch die Lösung dazu, aber ich verstehe überhaupt nicht wie man darauf kommen soll. Es kommt für mich einfach aus der Luft und hat irgendwie keinen wirklichen Zusammenhang (es macht natürlich Sinn, weil am Ende wirklich f(i)=1+2i gilt, das ist mir klar). Gibt es eine Möglichkeit das irgendwie rechnerisch herauszufinden oder muss ich einfach solche Matrizen kennen und die dann irgendwie geschickt anwenden? Vielleicht kann mir jemand helfen, wie ich so eine Aufgabe in meiner Klausur dann angehen soll und wenigstens was hinschreiben kann, damit es ein paar Punkte gibt.
Hier die Lösung:
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Ich will mal kurz einen Unterschied zu Beginn betonen: Eine Möbiustransformation ist ein Automorphismus der Riemannschen Zahlenkugel, aber hat - zunächst - nichts mit Riemannscher Geometrie zu tun, da man dafür auch eine Metrik auf der Riemannschen Zahlenkugel benötigen würde. In dem Fall müsste man (im "Normalfall") die Matrizen in $SU(2)$ wählen, der orientierierungserhaltenen Rotationen von $\mathbb{C}^2$.

Wenn wir eine geeignete Matrix haben, definieren wir einen Automorphismus der Riemannschen Zahlenkugel durch

$$\phi: \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) \to \mathrm{Aut}(\hat{\mathbb{C}}), \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \mapsto f(z):= \frac{az+b}{cz+d}.$$ Dies ist übrigens ein Gruppenhomomorphismus, sprich wir haben $\phi(AB)=\phi(A) \circ \phi(B)$ mit $\ker \phi \cong \mathbb{Z}_2.$

Jetzt können wir aber uns elementare Transformationen anschauen, nämlich 

$$f_1(z)=z+b \\ f_2(z)=az \\ f_3(z)= \frac{1}{z}$$

Diese sind - geometrisch - und der Reihe nach: Translation, Rotation und Streckung $(a=re^{i \phi}$ und $e^{i\phi}$ ist eine Rotation in der Zahlenabene) sowie Inversion/Spiegelung. Mache dir auch klar, zu welchen Matrizen $A \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ (bis auf ein Vorzeichen) diese Transformationen korrespondieren. 

Jeder Möbiustransforamtion $f \in \mathrm{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ kannst du geschickt als eine Verknüpfung solcher elementaren Transformation schreiben. Merke dir diese, nutze die Gruppenhomomorphismus Eigenschaft und liste Sie systematisch der Reihe nach auf auf was sie geometrisch bedeuten. Allgemein kannst du dann eine solche Transformierte (für $c\neq 0$) als 

$$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{bc-ad}{c^2} \cdot \frac{1}{z+ \frac{c}{d}} + \frac{a}{c}$$

schreiben, was eine Translation, Inversion, Rotation und Streckung und noch eine Translation ist mit entsprechenden Parametern. Falls $c=0$ ist es nur eine Translation und Rotation/Streckung.

Eine Möbiustransformation wird durch mindestens $3$ Werte eindeutig bestimmt, auch dafür gibt es eine Konstruktionsformel wenn ich mich recht entsinne, aber die habe ich nicht mehr zur Hand. Aber es bricht darauf runter, Gleichungssystem zu lösen. Dadurch kannst du Bedinungen wie e.g. $f(i)=2i+1$ sicherstellen.

Anmerkung: Es gibt noch weitere Möglichkeiten, diese elementaren Möbisutransformationen zu wählen (siehe u.A. auch Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation ). 

 

 

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