Naja es geht eben darum, dass du etwas willst "auf" dem du Rechnen kannst, hier also eine abelsche Gruppe. Wenn du die normale Addition als verknüpfung verwenden würdest, würde das in diesem Fall ja nicht funktionieren, das heißt du musst eine andere "additive Verknüpfung", nämlich die Addition mod m einführen. mit Hilfe dieser Verknüpfung kannst du dann tatsäächlich die Gruppenaxiome nachrechnen und erhältst eine abelsche Gruppe. 

Die Striche unter den Zahlen sollten dich nicht weiter irritieren. Es geht eben darum, dass man in Restklassenringen nicht mehr mit normalen Zahlen rechnet sondern immer mit den ganzen Restklassen, bzw mit den Repräsentanten einer Restklasse, ich vermute dass das hier verdeutlicht werden soll. 

Also die Zahl \(\underline{5}\) in \( \mathbb{Z}_7 \) repräsentiert die gesamte Restklasse und nicht nur die eine Zahl 5, da ja zum Beispiel 12 in der selben Restklasse liegt.