Parameter finden: f(x) = -ax²+3 geschnitten von g(x) = x², für A1 = A2

Erste Frage Aufrufe: 421     Aktiv: 23.10.2022 um 21:03
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Hallo miteinander! :wave:
Ich habe eine Frage, vielleicht kann mir ja jemand helfen und zwar finde ich den Ansatz nicht, zu folgender Aufgabe:

Durch die Funktion f(x) = −ax²+3, a > 0, und die Koordinatenachsen ist im ersten Quadranten ein Flächenstuck gegeben, welches die Funktion  g(x) = x²
geteilt wird. Das Flächenstück an der y-Achse sei A1, das an der x-Achse A2. Wie muss a gewählt werden, damit A1/A2 = 1 gilt?

Also klar ist, dass ich den Parameter finden muss bei dem ich die Funktion der Schaar erhalte bei der die geteilten Flächen A1 = A2 werden.
Ich habe die Nullstelle von f(x) und den Schnittpunkt von f(x)=g(x) in Abhängigkeit von a bestimmt.

Schnittpunkt
              
Nullstelle     
                 
 

Und als Ansatz dachte ich dann, dass das Integral von g(x) in den Grenzen zwischen 0 und dem Schnittpunkt f(x)=g(x) so groß sein soll wie die Hälfte des Integrals der Differenzenfunktion h(x)  =  f(x) - g(x) in den Grenzen 0 bis zur Nullstelle f(x).



Wenn ich das jetzt integriere, it's total Doom. Also ich habe angefangen aber ich habe dann größte Schwierigkeiten das a zu bestimmen. Ich habe eine Seite voll mit gebrochenen Exponenten und Summanden und Produkten die sich nur sehr schwer zusammenfassen lassen. Deshalb wollte ich fragen ob der Ansatz so richtig gewählt ist oder ab es etwas einfachereres gibt? Oder muss ich nach der Integration um das a zu bestimmten auf etwas besonderes achten?

Viele Grüße!

EDIT vom 23.10.2022 um 17:30:



Hallo! Vielen Dank für die Hilfestellungen!
Natürlich habe ich eine handschrifliche Skizze in meinem Block, das ist immer nur schwierig die übersichtlich zu digitalisieren. Ich habe mir Mühe gegeben meinen Gedankengang zu veranschaulichen.

A1 soll mit der Differenzenfunktion h(x) = f(x) - g(x) (da f(x) die obere Funktion) im Intervall von 0 bis zur Stelle x des Schnittpunkts f(x) = g(x), in Abhängigkeit von a brechnet werden.
A2 soll genau so groß sein und wird geteilt, also mal 1/2 in den Grenzen 0 bis zur Nullstelle f(x) = 0 in Abhängigkeit von a.

EDIT vom 23.10.2022 um 19:09:

Ich habe das als Zwischenergebnisse nachdem ich in alle Richtungen rumprobiert habe umzuformen. Sieht das vernünftig aus?
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Schaut doch soweit gut aus.   ─   cauchy 23.10.2022 um 17:39
Super! Vielen Dank für die Rückmeldung!

Also ist es bei solchen Aufgaben üblich, dass ich danach mit seitenweise Umformungsschritten beschäftigt bin?   ─   omegazen 23.10.2022 um 17:45
Ich habs jetzt nicht nachgerechnet, aber so lang sollte die Rechnung nicht sein. Man kann es sich natürlich auch immer unnötig schwer machen.   ─   cauchy 23.10.2022 um 17:47
Die Terme für die Integrale sind zwei einfache Wurzelterme. Dafür hab ich jetzt nicht mal eine Seite gebraucht. Das Lösen der Gleichung ist jetzt auch nicht wesentlich schwieriger. Man braucht übrigens keine gebrochenen Exponenten. Davon ist sowieso beim Rechnen abzuraten.   ─   cauchy 23.10.2022 um 17:58
Nicht mal eine Seite?! Ich rödel mir hier ein seitenweise ab...   ─   omegazen 23.10.2022 um 19:05
Egal, ich kann nicht mehr. Irgendwo beim Umformen sehe ich den Moment für die goldene Umformung nicht. Ich habe den Ansatz und einige Zwischenergebnisse. Ich danke dir vielmals für's Gegenprüfen und die Tipps!! Dass ich nicht mit gebrochenen Exponenten rechnen soll nehme ich auf jeden Fall mit!   ─   omegazen 23.10.2022 um 19:21
Der linke Term stimmt, der rechte Term ist falsch. Und wo sind die Rechnungen dafür?   ─   cauchy 23.10.2022 um 19:36
Also für $a$ kommt eine vernünftige Zahl (rational) raus. Keine Ahnung, was ihr da alle rechnet. Da gibt es schlimmere Aufgaben.

Wie gesagt, der rechte Term ist falsch. Wenn man den richtigen Term nutzt, kann man die Gleichung mittels Kehrwertbildung lösen.   ─   cauchy 23.10.2022 um 19:53
Die Rechnungen sind auf meinen ganzen Blockseiten. Ich wollte euch jetzt nicht antun ewig viele Umformungsschritte durchzusehen, deshalb habe ich ein paar Zwischenergebnisse ordentlich rausgeschrieben. Nochmals vielen, vielen Dank! Auch für diese zusätzlichen Hinweise bin ich sehr dankbar. Wenn ich morgen mit neuem Elan an die Sache gehe, werde ich mein neues Ergebnis aktualisieren!   ─   omegazen 23.10.2022 um 20:57
Tu das! Viel Erfolg. :)   ─   cauchy 23.10.2022 um 21:03
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Ich denke, dass die Aufgabe nicht ganz eindeutig so gestellt ist, abgesehen davon, dass im ersten Satz ein Wort fehlt. Wenn ich die Situation skizziere, dann hätte ich nach meiner Interpretation für A2 Deine rechte Seite, aber ohne den Faktor 1/2 davor. Für A1 ist das aber eine Summe zweier Integrale. Einmal von 0 bis zum Schnittpunkt der beiden Funktionen und dann noch von diesem Schnittpunkt bis \(\sqrt{3/a}\). Kontolliere doch noch einmal die genaue Aufgabenstellung.
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Tatsächlich fehlt das Wort auch in der original Aufgabenstellung, ich habe sie aus dem Arbeitsblatt kopiert.

A1 soll die Fläche an der y-Achse sein. Also meine rechte Seite ohne den Faktor 1/2.
A2 soll die Fläche an der x-Achse sein und soll genau so groß sein wie A1. Da g(x) die Fläche zwischen f(x) und x-Achse teilt, gehört also der Faktor 1/2 auf meine linke Seite.

So hatte ich meinen ersten Ansatz auch formuliert und wegen einem Knoten beim Denken habe ich beim formulieren meiner Frage hier den Faktor 1/2 auf die falsche Seite geschoben. Dann müsste der Ansatz wieder passen, sehe ich das richtig?

Vielen Dank schonmal!   ─   omegazen 23.10.2022 um 11:41
Nein, der Ansatz passt nicht. Mache eine Skizze und überlege dir genau, welche Fläche du mit deinen Integralen berechnest.

Übrigens ist die Aufgabe sehr wohl eindeutig: Dass es im ersten Satz "durch die Funktion" (genauer wäre: durch den Graphen der Funktion) heißen soll, ergibt sich direkt aus dem Kontext. Damit ist anschaulich auch klar, was zu tun ist.
  ─   cauchy 23.10.2022 um 15:34

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