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Hallo! Ich komm leider nicht weit bei der Aufgabe;

Bestimmen Sie die Tangente an die Funktion f im Punkt (2,f(2)) wobei f(2) = 0 und die funktion f:(1,unendlich) --> R durch die implizite Gleichung :

 \( xe^{xf(x)} =(x-2)^3 + e^{f(x)} +1 \) 

Also was ich weiss ist das ich die tangente so bestimmen kann : y = f(x0) + f'(x0) *(x1-x0). Und bei impliziten gleichungen muss man ja ausnutzen das g(x) = h(x) <==> g'(x) = h'(x). Also ich habe mein g(x) und h(x) hier gefunden.

g(x) =\( xe^{xf(x)} \) und  h(x) =\( (x-2)^3 + e^{f(x)} +1 \) 
Und nun muss ich das jetzt ableiten. Also ich habe das rausbekommen(falls falsch bitte bescheid geben).

\( g'(x) = e^{xf(x)} + xe^{xf(x)'} * f(x)' \) 
\( h'(x) =3(x-2)^2 + e^{f(x)'} \) 

Und jetzt komme ich nicht weiter. Was ist mein nachster schritt? 


Danke im Voraus!


EDIT: Also ich hab  das alles nochmal durchgerechnet und dass sind die neuen derivationen

\(\frac{d}{dx}xe^{xf(x)}=e^{xf(x)}+ x\bigg(e^{xf(x)}\cdot \big(xf'(x)+f(x)\big)\bigg) \) 
\(\frac{d}{dx}\bigg((x-2)^3+e^{f(x)}+1\bigg)=3(x-2)^2+e^{f(x)}\cdot f'(x) \) 

So und jetzt muss ich das nach f'(x) auflösen also; sollte des so aussehen.

\( f'(x)=\frac{3(x-2)^2-e^{xf(x)}-xe^{xf(x)}f(x)}{x^2e^{xf(x)}-e^{f(x)}} \) 

Und nun soll ich jetzt für x = 2 einsetzen und wo ich f(2) = 0? Könnte mir jemand sagen ob das bisherige richtig ist. 


Danke!

EDIT 2:  Okay ich denk ich habs jetzt.

\( f'(2)=\frac{-1}{3}\) 

Und das in die tangenten gleichung eingesetzt.

\( t(x)=\frac{-1}{3}x + \frac{2}{3}\) 
 
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1 Antwort
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Erstmal solltest Du richtig ableiten, beim Ableiten von \(e^{...}\) ist die Kettenregel anzuwenden. Deine Tangentengleichung ist schonmal (fast) richtig ("fast", weil: was ist denn x1?).
Es geht um die Tangente im Punkt (2,f(2)), was ist also x0? Nun fehlt nur noch f'(0). Das erhälst Du aus Deiner Gleichung \(g'(x)=h'(x)\), wenn Du das richtige, sinnvolle x einsetzt (und, wie gesagt, richtig ableitest).
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Ja, jetzt sind die Ableitungen richtig. Die Umstellung ist auch ok. Einfacher wäre es gewesen, Du hättest erst x, f(x) eingesetzt und dann umgestellt (wie oben gesagt).   ─   mikn 01.02.2021 um 22:36

Wenn Du Deine Lösungsversuche in die Aufgabenstellung schreibst, und nicht als Kommentar auf meine Antwort, dann kriege ich das nicht angezeigt. Ist dann Zufall, wenn ich's sehe
Es ist stimmt nun, aber nochmal: Nicht f'(x)=-1/3, sondern f'(2)=-1/3.
  ─   mikn 02.02.2021 um 18:12

Aso ja ich wuste dass nicht danke für den Hinweis.Ja da hast auch recht,danke!   ─   arhzz1 02.02.2021 um 18:36

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