Hallo! Ich komm leider nicht weit bei der Aufgabe;

Bestimmen Sie die Tangente an die Funktion f im Punkt (2,f(2)) wobei f(2) = 0 und die funktion f:(1,unendlich) --> R durch die implizite Gleichung :

 \( xe^{xf(x)} =(x-2)^3 + e^{f(x)} +1 \) 

Also was ich weiss ist das ich die tangente so bestimmen kann : y = f(x0) + f'(x0) *(x1-x0). Und bei impliziten gleichungen muss man ja ausnutzen das g(x) = h(x) <==> g'(x) = h'(x). Also ich habe mein g(x) und h(x) hier gefunden.

g(x) =\( xe^{xf(x)} \) und  h(x) =\( (x-2)^3 + e^{f(x)} +1 \) 
Und nun muss ich das jetzt ableiten. Also ich habe das rausbekommen(falls falsch bitte bescheid geben).

\( g'(x) = e^{xf(x)} + xe^{xf(x)'} * f(x)' \) 
\( h'(x) =3(x-2)^2 + e^{f(x)'} \) 

Und jetzt komme ich nicht weiter. Was ist mein nachster schritt? 


Danke im Voraus!


EDIT: Also ich hab  das alles nochmal durchgerechnet und dass sind die neuen derivationen

\(\frac{d}{dx}xe^{xf(x)}=e^{xf(x)}+ x\bigg(e^{xf(x)}\cdot \big(xf'(x)+f(x)\big)\bigg) \) 
\(\frac{d}{dx}\bigg((x-2)^3+e^{f(x)}+1\bigg)=3(x-2)^2+e^{f(x)}\cdot f'(x) \) 

So und jetzt muss ich das nach f'(x) auflösen also; sollte des so aussehen.

\( f'(x)=\frac{3(x-2)^2-e^{xf(x)}-xe^{xf(x)}f(x)}{x^2e^{xf(x)}-e^{f(x)}} \) 

Und nun soll ich jetzt für x = 2 einsetzen und wo ich f(2) = 0? Könnte mir jemand sagen ob das bisherige richtig ist. 


Danke!

EDIT 2:  Okay ich denk ich habs jetzt.

\( f'(2)=\frac{-1}{3}\) 

Und das in die tangenten gleichung eingesetzt.

\( t(x)=\frac{-1}{3}x + \frac{2}{3}\)