Verhalten im Unendlichen

Aufrufe: 818     Aktiv: 07.01.2020 um 15:48
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\(lim_{x\to unendlich} \frac{x^3-7x+6}{x^2-1}\)

Es geht um das Verhalten im Unendlichen. Durch Polynomdivision habe ich herausbekommen: \(x-\frac{6x+6}{x^2-1}\). Die Asymptote ist demnach \(x\).

Wie gehe ich jetzt clever an das Verhalten im Unendlichen? Probiere ich nun solange irgendetwas aus dem Zähler und Nenner zu ziehen, bis die ich einen eindeutigen Ausdruck für \(x\to unendlich\) erhalte? Wenn ich folgendes rechne...:

\(lim_{x\to unendlich} \frac{x^2}{x^2}*\frac{x-\frac{7}{x}+\frac{6}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}= unendlich\)

Aber wie komme ich da am sinnigsten drauf?

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Student, Punkte: 25

 
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1 Antwort
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Du hast doch bereits die Asymptote? Für große x geht die ja nach Unendlich. 

Auch dein zweiter Weg ist gut. Aber das wäre schon nicht mehr nötig. 

 

Übrigens: Wenn der Zählergrad > Nennergrad ist (also die jeweils höchsten Potenzen), geht es immer nach unendlich. Nur mim Vorzeichen muss man kurz schauen, je nachdem was die Potenzen haben :). Mit anderen Worten sieht man das Verhalten direkt (andernfalls würde wohl deinen zweiten Weg gehen).

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Ja, in dem Fall hatte ich die Aufgabe schon gelöst vorher. Aber woher weiß ich, wann ich ein richtiges Ergebnis herausbekomme im Limes?   ─   helpmath 07.01.2020 um 14:52
Wie meinst du das? Dann wenn du erklären kannst, was da dransteht^^. Du hast dafür drei Wege vorgestellt.
Entweder argumentierst du wie bei meinem "Übrigens", oder du schreibst deinen zweiten Schritt hin (entferne aber noch das x^2/x^2). Beides sollte klar sein, wie man auf die Interpretation "unendlich" kommt.
Die Asymptote zu bestimmen ist ebenfalls möglich, aber nicht immer der offensichtlichste Weg.   ─   orthando 07.01.2020 um 15:19
Manchmal ist gefragt, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält und manchmal wird explizit. nach einer Asymptote gefragt. Ich dachte, es gibt da so einen generellen Weg.
   ─   helpmath 07.01.2020 um 15:39
Nein, du nimmst den Weg, der dir am besten passt, wenn nicht anders verlangt^^.   ─   orthando 07.01.2020 um 15:48

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