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für die Ableitung des Tangens gilt ja: tan'(x)=1+tan(x), wobei für den Definitionsbereich (-pi/2,+pi/2) gilt.
Was passiert, wenn ich den linken Intervall auf 0 verändere? Ist dann die Funktion noch differenzierbar bzw. gilt dann immernoch das gleiche für die Ableitung?
Die Ableitung stimmt nicht, es gilt $\tan'x = 1+\tan^2 x$. Die Differenzierbarkeit und auch diese Ableitung bleiben auf jedem Intervall gültig, auf dem $\tan$ definiert ist. Natürlich auch auf jedem kleineren Intervall als dem ursprünglich genannten.
Warum sollte die Funktion nicht mehr differenzierbar sein und vor allem, warum sollte die Ableitungsfunktion dann anders sein? Du verkleinerst ja nur den Definitionsbereich.