Das was du sagst hört sich richtig an, die ganze Aufgabe ist aber schwierig zu verstehen. Lass uns Koordianten wegdiskutieren, dazu wir müssen Situation ein bisschen allgemeiner betrachten. Wir haben also einen Vektorraum \(V\), stelle dir als den ganzen Raum vor mit dem wir arbeiten, mit \(\dim V=3\) und einen Untervektorraum \(U\) mit \(\dim U=1\), das könnte in deine Beispiel die z-Achse sein. Es ist dann \(\dim V/U =2\) und damit klar, dass die Projektion \(\pi: V\to V/U\) nicht injektiv ist. Genauer folgt aus \(\pi(v)=\pi(w)\), dass \(v-w \in U\) ist, in deinem Beispiel die z-Achse. Wählst du jetzt \(v_1,v_2 \in V\) mit \((\pi(v_1), \pi(v_2))\) eine Basis von \(V/U\), in deinem Beispiel x und y-Achse, und \(v_3 \in U \) mit \(v_3 \not =0\), in deinem Beispiel (0,0,5), dann ist \((v_1,v_2,v_3)\) eine Basis von \(V\), weil \(\pi\) surjektiv ist. Das bedeutet gerade deine genannte eindeutige Linearkombination