Punkt im dreidimensionalen koordinatisieren

Aufrufe: 115     Aktiv: 30.08.2022 um 09:57

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Liebes Forum,
ein Punkt im 3-D Koordinatensystem kann unendlich viele Koordinatenzusammenstellungen besitzen (Informationsverlust von 3d Projektion auf 2d).

Allerdings lässt sich dieses Dillema umgehen, sobald man mindestens eine Koordinate des Punktes vorgegeben hat. Woran liegt das?

Meine Idee:

Wenn ich weiß, dass ein Punkt z.B. als z- Koordinate 5 hat, so weiß ich auch, dass er in der zur xy-Ebene parallelen Ebene z=5 liegt.
Ausgehend vom Punkt (0,0,5) reicht es aber nun innerhalb dieser Ebene aus,mit den beiden Vektoren (1,0,0) und (0,1,0) zum gesuchten Punkt zu gelangen und eine eindeutige Linearkombination zu finden, welche dann die Koordinaten des Punktes ergibt.

Passt das so liebes Forum?

Tausend Dank!
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Kann niemand helfen? :(   ─   handfeger0 30.08.2022 um 08:50
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Das was du sagst hört sich richtig an, die ganze Aufgabe ist aber schwierig zu verstehen. Lass uns Koordianten wegdiskutieren, dazu wir müssen Situation ein bisschen allgemeiner betrachten. Wir haben also einen Vektorraum \(V\), stelle dir als den ganzen Raum vor mit dem wir arbeiten, mit \(\dim V=3\) und einen Untervektorraum \(U\) mit \(\dim U=1\), das könnte in deine Beispiel die z-Achse sein. Es ist dann \(\dim V/U =2\) und damit klar, dass die Projektion \(\pi: V\to V/U\) nicht injektiv ist. Genauer folgt aus \(\pi(v)=\pi(w)\), dass \(v-w \in U\) ist, in deinem Beispiel die z-Achse. Wählst du jetzt \(v_1,v_2 \in V\) mit \((\pi(v_1), \pi(v_2))\) eine Basis von \(V/U\), in deinem Beispiel x und y-Achse, und \(v_3 \in U \) mit \(v_3 \not =0\), in deinem Beispiel (0,0,5), dann ist \((v_1,v_2,v_3)\) eine Basis von \(V\), weil \(\pi\) surjektiv ist. Das bedeutet gerade deine genannte eindeutige Linearkombination
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